在区间上对函数（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）习题4-12．设函数在上可导,且(为常数).证明:,其中为常数.证明:设函数,则函数在上可导,且.由拉格朗日中值定理的推论1知:,其中为常数.即.5.证明:.证明:设,在区间上对函数用拉格朗日中值定理,存在使得,因为,我们有.8.设为三个实数,函数在上连续,在内二阶可导,且.证明:在区间内至少有一点,使得.证明:在区间,上对函数分别用罗尔中值定理,存在,,使得.在区间上对函数用罗尔中值定理,存在使得.习题4.1设和是区间上的连续函数，证明：如果在区间上有常数或常数，则和在区间上线形无关。证明：假设在，在区间上线形相关则存在不全为零的常数，，使得那么不妨设不为零，则有显然为常数，与题矛盾，即假设不成立，在区间上线形无关证明非齐线形方程的叠加原理：设，分别是非齐线形方程（1）（2）的解，则+是方程+的解。证明：由题可知，分别是方程（1），（2）的解则：（3）（4）那么由（3）+（4）得：+即+是方程是+的解。试验证0的基本解组为，并求方程的通解。证明：由题将代入方程0得：-=0,即是该方程的解，同理求得也是该方程的解又显然线形无关，故是0的基本解组。由题可设所求通解为：，则有：解之得：故所求通解为：试验证0有基本解组t，，并求方程t-1的通解。解：由题将t代入方程0得：，即t为该方程的解同理也是该方程的解，又显然t，线形无关，故t，是方程0的基本解组由题可设所求通解为，则有：解之得：故所求通解为以知方程0的基本解组为，求此方程适合初始条件的基本解组（称为标准基本解组，即有）并求出方程的适合初始条件的解。解：时间方程0的基本解组，故存在常数使得：于是：令t=0,则有方程适合初始条件，于是有：解得：故又该方程适合初始条件，于是：解得：故显然，线形无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为：，而此方程同时满足初始条件，于是：解得：故满足要求的解。设是齐线形方程（4.2）的任意n个解。它们所构成的伏朗斯行列式记为，试证明满足一阶线形方程，因而有：解：又满足即则：即则有：即：假设是二阶齐线形方程（*）的解，这里在区间上连续，试证：（1）是方程的解的充要条件为：；（2）方程的通解可以表示为：,其中为常数,证：（１）（２）因为为方程的解，则由刘维尔公式两边都乘以则有：，于是：从而方程的通解可表示为：,其中为常数,。试证n阶非齐线形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1个线形无关解。证：设为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，是（4.1）的一个解，则：（1），均为（4.1）的解。同时（1）是线形无关的。事实上：假设存在常数，使得：（*）的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！从而有又为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，故有：即（1）是线形无关的。闭区间上二次函数的最值二次函数是最简单的非线性函数之一，自身性质活跃，同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。一.定二次函数在定区间上的最值二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为，最小值为。图1例2.已知，求函数的最值。解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。图2解后反思：已知二次函数（不妨设），它的图象是顶点为、对称轴为、开口向上的抛物线。由数形结合可得在[m，n]上的最大值或最小值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。（2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是二.动二次函数在定区间上的最值二次函数随着参数a的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例3.已知，且，求函数的最值。解：由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，将配方得：二次函数的对称轴方程是顶点坐标为，图象开口向上由可得，显然其顶点横坐标在