第九章参数估计一、统计推论统计推论适用于抽样调查资料的处理。所谓统计推论就是根据局部资料（样本资料）对总体的特征进行推断。它属于归纳推理的范畴。统计推论具有两方面的特点：1、由于局部资料来源于总体，因此局部资料的特性在某种程度上能反映总体的特性；2、由于社会资料的随机性，即抽样的结果不是唯一的，又使得一次抽样结果不能恰好就等于总体的结果。这种“抽样结果与总体参数不一致”是随机现象在推论中所特有的，也是进行推论的难点所在。统计推论的理论基础是概率论。统计推论的内容大体可分两部分：1、通过样本对总体的未知参数进行估计，简称参数估计；2、通过样本对总体的某种假设（例如参数或分布的情况）进行检验，简称假设检验。二、名词解释1、总体：研究对象的全体，总体是由个体构成的。2、样本：从总体中按一定方式抽出的一部分称作样本。样本也是由个体构成的，其中包含个体数目ｎ成为样本大小或样本容量。从样本中抽取的个体，可以看作是个数为ｎ的一组数据。它们在未抽出之前可看作是一个随机变量。如果要求抽样这样一些数据，不但是随机变量，而且相互独立，遵从同一分布（即同总体所遵从的分布），那么这样的样本就称作简单随机样本。一般在无限总体（即总体个数是无限的）中的随机抽样；或在有限总体（即总体中个数是有限的）中的重复随机抽样（即每次抽样经观测后将抽到的个体放回，允许再次被抽到，又称回置抽取）所得的样本都是简单随机样本。３、统计量从总体中抽取容量为ｎ的样本，可以看作ｎ个独立同总体分布的随机变量。那么，随机变量的任何函数叫做统计量。根据随机变量的观测值计算得到的一切统计数字特征（例如均值、方差）可以看作是相应统计量的观测值。统计量的分布又称作抽样分布。三、参数的点估计参数估计可分作两类：１、点估计：用样本计算出来的一个数来估计未知参数。２、区间估计：通过样本计算出一个范围来对未知参数进行估计。（一）总体参数（均值与方差）的点估计公式１、总体均值的点估计：用样本均值作为总体均值的点估计值：样本均值：２、总体方差的点估计：用样本方差作为总体方差的点估计值：样本方差：3、总体标准差的点估计：用样本标准差作为总体标准差的点估计值：样本标准差：４、总体成数的点估计：当表示的是定类变量，其取值有：１当观测值为所研究的Ａ类０其他表示在样本ｎ次观测中，Ａ类出现ｍ次。用样本成数作为总体成数的点估计值。样本成数：（二）评价点估计值的标准所谓总体参数Ｑ的最佳估计值（它是样本值的函数）应当是在某种意义下最近似Q的。衡量估计值好坏有如下几个标准：1.无偏性例如：用样本均值作为总体均值的点估计值时。想象做了m次抽样，得到m个容量为n的样本，计算出m个均值，此时就是一个随机变量，样本均值的分布即一个抽样分布。对于好的估计值，的分布应该总是围绕着总体均值周围的，即分布的均值，应该恰好就是总体均值。这时，我们称估计值为无偏估计值。因为只有这样，对一次样本来说，估计值可能比真实值大，或者小，但对于多个样本来说，就不会存在平均偏差了。即这样的估计值不存在系统偏差。因此，好的估计值应该是的均值等于总体均值。１、无偏性如果是总体参数Ｑ的估计值，且分布的均值有：，则称是Ｑ的无偏估计。反之，将是Ｑ的有偏估计。样本方差为时，样本方差为时，所以作为总体方差的估计值比好，它是无偏的。２、有效性有效性标准要求估计值的抽样分布应该具有较小的分散性。如果有两个估计值和它们都满足无偏性。那么，当的方差比的方差小时：则称较有效。３、一致性对于估计值除了要求无偏性和有效性外，一个好的估计值还应当要求随着样本容量ｎ的增大以更大的概率去接近被估计参数的值。把样本容量为ｎ的估计值记作，如果时，按概率收敛于总体参数Q，即对于任何正数，有：则称是Ｑ的一致估计值。四、抽样分布——统计量的分布（一）样本均值的分布１、总体分布为正态分布，且方差已知：根据正态分布的性质：任意有限个服从正态分布的独立随机变量直线型函数仍然服从正态分布。因此，若服从总体分布为中抽出的一个样本，则是ｎ个相互独立，分布为的随机变量。那么，样本均值仍然服从正态分布：~比较：~；~。可见，随着样本容量ｎ的增加，可以有效减少抽样分布的分散程度。称作抽样均值的平均误差或标准误，反映了统计量围绕的分散程度，或者说反映了抽样均值与的平均误差水平，值除了与总体有关外，它还随着样本容量ｎ而变化。由于是由抽样引起的，其大小可以反映统计量的可靠程度。如果将标准化：~２、总体分布为正态分布，且方差未知：这时用样本方差作为总体方差的估计值。根据数学推算，统计量~自由度k为n-1的t分布。当K很大时，t分布图形与标准正态分布差别很小。因此，当K很大时（n>3