http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网第四章第二节平面向量的基本定理及坐标表示题组一平面向量基本定理及其运用1.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延伸线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)bB.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)bD.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b解析：如图所示，由△DEF∽△BEA知＝＋＝a＋eq\f(2,3)＝a＋eq\f(1,3)(b－a)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.答案：B2．(2010·温州模拟)已知直角坐标平面内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，使平平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是________．解析：∵c可唯一表示成c＝λa＋μb，∴a与b不共线，即2m－3≠3m，∴m≠－3.答案：{m∈R|m≠－3}3．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a、b表示)．解析：由＝3得4＝3＝3(a＋b)，＝a＋eq\f(1,2)b，所以＝eq\f(3,4)(a＋b)－(a＋eq\f(1,2)b)＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.答案：－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b题组二平面向量的坐标运算4.在三角形ABC中，已知A(2,3)，B(8，－4)，点G(2，－1)在中线AD上，且＝2，则点C的坐标是()A．(－4,2)B．(－4，－2)C．(4，－2)D．(4,2)解析：设C(x，y)，则D(eq\f(8＋x,2)，eq\f(－4＋y,2))，再由＝2得(0，－4)＝2(eq\f(4＋x,2)，eq\f(－2＋y,2))，∴4＋x＝0，－2＋y＝－4，即C(－4，－2)．答案：B5．若α，β是一组基底，向量γ＝x·α＋y·β(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为()A．(2,0)B．(0，－2)C．(－2,0)D．(0,2)解析：由已知a＝－2p＋2q＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)，设a＝λm＋μn＝λ(－1,1)＋μ(1,2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＋μ＝2,λ＋2μ＝4))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝0,μ＝2))，∴a＝0m＋2n，∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．答案：D6．(2010·黄冈模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量＝a，＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用暗影表正确的是()解析：＝λa＋μb＝λ(3,1)＋μ(1,3)＝(3λ＋μ，λ＋3μ)．∵0≤λ≤μ≤1，∴0≤3λ＋μ≤4,0≤λ＋3μ≤4，且3λ＋μ≤λ＋3μ.答案：A题组三平行(共线)向量的坐标表示7.(2009·北京高考)已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：不妨设a＝(1,0)，b＝(0,1)．依题意d＝a－b＝(1，－1)，又c＝ka＋b＝(k,1)，∵c∥d，∴12－(－1)·k＝0，∴k＝－1，又k＝－1时，c＝(－1,1)＝－d，∴c与d反向．答案：D8．已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝(eq\f(1,2)，1＋sinθ)，且a∥b，则锐角θ等于()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：由a∥b可得(1－sinθ)(1＋sinθ)－eq\f(1,2)＝0，即cosθ＝±eq\f(\r(2),2)，而θ是锐角，故θ＝45°.答案：B9．已知a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝xb＋yc的实数x，y的值；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值．解：(1)∵a＝xb＋yc，∴(3,2)＝x(－1,2)＋y(4,1)＝(－x＋4y,2x＋y)．∴eq\b\lc\{\rc