第四章随机变量数字特征§4.1数学期望定义4.1：设离散型随机变量X分布列是，若级数收敛，则称随机变量X数学期望存在，且称级数和为X数学期望，并记为EX，有时也称EX为X均值。对连续型随机变量X数学期望类似可定义以下：注1、若，仍称X数学期望不存在。4.1.2常见随机变量数学期望（2）二项分布B(n,p)（3）泊松分布P(λ)（4）几何分布G(p)（5）超几何分布H(N,M,n)（6）均匀分布U(a,b)（7）指数分布（8）正态分布N(μ,σ2)4.1.3随机变量函数数学期望（2）若X是连续型随机变量，其密度函数为，若积分绝对收敛，则有定理4.2：设Z是二维随机变量（X，Y）函数，即Z＝g（X，Y），则例1：设X～B（n，p），求EX(X－1)。例2、已知X～N(0,1)，求E(X4)例3、（X,Y）联合密度函数为：例4：设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，其密度为例5：设X、Y相互独立同服从标准正态分布N（0，1），求E（max｛X,Y｝）。（1）EC＝C，(C为常数)（2）E(CX)＝CEX，(C为常数)（3）E(X+Y)＝EX＋EYE(aX+b)＝aEX＋b，E()＝（4）若X、Y是相互独立随机变量，则E(X·Y)＝EX·EY。例6、盒中有N个球，其中M个黑球，N-M个白球，从中任取n个球，令X表示取得黑球个数，求EX。§4.2随机变量方差定义4.3：设X是一个随机变量，若(X－EX)2数学期望存在，则称E(X－EX)2为X方差，记为DX或Var(X)，即DX＝E(X－EX)2方差计算公式：（2）二项分布：（5）指数分布：（6）正态分布：4.2.3方差性质例1、已知X～N(1,22)，Y～N(2,22)，且X、Y相互独立，求：X-2Y+3数学期望和方差。定理：切比雪夫不等式称为X、Y相关系数。相关系数特征：是一个无量纲量。它描述是X、Y之间线性相关程度。4.3.2协方差与相关系数性质2、相关系数性质:例1、已知随机变量X,Y相互独立，且独立与不相关关系：X、Y相互独立，则其一定不相关；但若X，Y不相关，却未必相互独立。§4.4矩、协方差矩阵4.4.2协方差矩阵协方差矩阵性质：4.4.3n维正态分布特殊，n=2时，即：1、定义：7、Xn×1～N（μn×1,Σn×n）充要条件是l’X～N（l’μ，l’Σl）（其中l为n维常向量）