微专题强化练(三)球的内切、外接问题的常见策略(建议用时：40分钟)一、选择题1．一个四面体的所有棱长都为eq\r(2)，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为()A．3πB．4πC．3eq\r(3)πD．6πA[联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，则正方体的面对角线即为四面体的棱长，求得正方体的棱长为1，体对角线为eq\r(3)，从而外接球的直径也为eq\r(3)，所以此球的表面积为3π.]2．已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是eq\f(32,3)π，则该正方体的体积为()A．4B．16C．8D．64D[正方体的内切球的体积是eq\f(32,3)π，则eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π，∴R＝2，则内切球的半径R＝2，所以该正方体的棱长为4，所以该正方体的体积为V＝43＝64.]3．一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是()A．eq\f(\r(6π),6)B．eq\f(\r(π),2)C．eq\f(\r(2π),2)D．eq\f(3\r(π),2π)A[设正方体棱长为a，球半径为R.由6a2＝4πR2，得eq\f(a,R)＝eq\r(\f(2π,3))，设正方体和球的体积分别为V1，V2，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(a3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,4π)(eq\r(\f(2π,3)))3＝eq\f(\r(6π),6).]4．用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()A．eq\f(20π,3)B．eq\f(20\r(5)π,3)C．20eq\r(5)πD．eq\f(100π,3)B[用平面去截球所得截面的面积为π，所以截面圆的半径为1.已知球心到该截面的距离为2，所以球的半径为r＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，所以球的体积为V＝eq\f(4,3)π×(eq\r(5))3＝eq\f(20\r(5)π,3).]5．长、宽、高分别为2，eq\r(3)，eq\r(5)的长方体的外接球的表面积为()A．4πB．12πC．24πD．48πB[长方体的体对角线即为外接球的直径2R，∵长方体的长、宽、高分别为2，eq\r(3)，eq\r(5)，∴(2R)2＝22＋(eq\r(3))2＋(eq\r(5))2＝12，R2＝3，∴外接球的表面积为4πR2＝12π.]二、填空题6．一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则此球的表面积为________．14π[因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，长方体体对角线长为eq\r(14)，故球的表面积为14π.]7．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且三条侧棱长分别为1，eq\r(2)，eq\r(3)，则其外接球的表面积是________．6π[据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为1，eq\r(2)，eq\r(3)的长方体，于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球．设其外接球的半径为R，则有(2R)2＝12＋(eq\r(2))2＋(eq\r(3))2＝6.∴R2＝eq\f(3,2).故其外接球的表面积S＝4πR2＝6π.]8．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是eq\f(32,3)π，那么这个三棱柱的侧面积为________，体积是________．48eq\r(3)48eq\r(3)[设球的半径为r，则eq\f(4,3)πr3＝eq\f(32,3)π，得r＝2，柱体的高为2r＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4eq\r(3)，所以正三棱柱的侧面积S侧＝3×4×4eq\r(3)＝48eq\r(3)，体积V＝eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3))2×4＝48eq\r(3).]三、解答题9．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为eq\f(9,8)，底面周长为3，求该球的体积．[解]设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x＝3，,\f(9,8)＝6×\f(\r(3),4)x2h，))∴