立体几何初步(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与对角线BD的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．相交垂直D．异面垂直解析：选D∵PC⊥平面α，BD⊂平面α，∴PC⊥BD.又在菱形ABCD中，AC⊥BD，PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC.又PA⊂平面PAC，∴BD⊥PA.显然PA与BD异面，故PA与BD异面垂直．2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形是()A．等边三角形B．矩形C．等腰梯形D．以上都有可能解析：选D当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图①；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图②；当点Q不与点D，D1重合时，令Q，R分别为DD1，C1D1的中点，则截面图形为等腰梯形AQRB1，如图③.3．已知直线PG⊥平面α于点G，直线EF⊂α，且PF⊥EF于点F，那么线段PE，PF，PG的长度的大小关系是()A．PE>PG>PFB．PG>PF>PEC．PE>PF>PGD．PF>PE>PG解析：选CRt△PFE中，PE>PF，Rt△PGF中，PF>PG，所以PE>PF>PG.4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β，且l∥αB．α⊥β，且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：选D由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则交线平行于l，故选D.5．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，VA1­BCD＝()A．60B．30C．20D．10解析：选DVA1­BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×5×4＝10.6．底面半径为eq\r(3)，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为()A．6πB．12πC．8πD．16π解析：选D由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，则O′O＝R－1，由勾股定理可知R2＝(R－1)2＋(eq\r(3))2，∴R＝2，∴球O的表面积为4πR2＝16π.故选D.7．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B­AD­C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B­AD­C的平面角，其大小为60°.故选C.8.过空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角α(0°<α<360°)，使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内．则这个八面体的旋转轴共有()A．7条B．9条C．13条D．14条解析：选C由对称性结合题意可知，过EF，AC，BD的直线为旋转轴，共3条，此时旋转角α最小为90°；过正方形ABCD，AECF，BEDF对边中点的直线为旋转轴，共6条，此时旋转角α最小为180°；过八面体相对面中心的直线为旋转轴，共4条，此时旋转角α最小为120°.综上，这个八面体的旋转轴共有13条．故选C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．a，b为不重合直线，β为平面，下列结论正确的是()A．若a⊥β，b⊥β，则a∥bB．若a∥β，b∥β，则a∥bC．若a∥β，b⊥β，则a⊥bD．若a∥β，b⊂β，则a∥b解析：选AC若a⊥β，b⊥β，由直线与平面垂直的性质可得a∥b，故A正确；若a∥β，b∥β，则a∥b或a与b相交或a与b异面，故B错误；若b⊥β，则b垂直于β内的所有直线，b也垂直于平行于β的所有直线，又a∥β，可得a⊥b，故C正确；若a∥β，b⊂β，则a∥b或a与b异面，故D错误．故选A、C.10.如图，在棱长均相等的正四棱锥P­ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则下列结论中正确的是()A．PC∥平面OMNB．平面PCD∥平面OMNC．OM⊥PAD．直线PD与直线MN所成角的