为等距节点的步长4、变步长方法记以上方法在计算yn+1时，仅用到yn，因而成为一步法如线性多步法的一般形式为§6.6方程组及高阶问题一阶方程组对于一阶微分方程组的初值问题：设xi=x0+ih(i=1,2,3,……),yi，zi为节点xi上的近似解，则有改进的欧拉格式为：再如经典R-K格式为：对于具有三个或三个以上方程的方程组的初值问题，也可用类似方法处理.。用经典R-K方法求解，按（6.2、改进的Euler公式另一个是控制飞行器运动姿态的系统，由于惯性小，如果，则（*）式称为显式k步法；tic,[t,y]=ode23s('examstiff',[0,10],y0);tocx0=[0,0,eps]';2高阶方程当上式成立时，即可以作为的近似值对于一阶微分方程组的初值问题：0,-10,10;与此对应的还有多步法，在计算yn+1时，不仅用到yn，取h＝０.如果，则（*）式称为隐式k步法；这是一个一阶微分方程组的初值问题，对此可用节中的方法来求解。改进的欧拉法具有2阶精度Ode23s刚性,单步法,采用2阶Rosenbrock法,精度较低,可解决ode15s效果不好的刚性方程.（6.8）上述方法同样可以用来处理三阶或更高阶的微分方程（或方程组）的初值问题。用经典R-K方法求解，按（6.7）及（6.8）进行计算：取h＝０.１，因而实际计算时，只需考察上述方法同样可以用来处理三阶或更高阶的微分方程（或方程组）的初值问题。如果，则（*）式称为隐式k步法；xdot=[-8/3,0,x(2);例如用经典R-K方法为令新变量，代入（6.速度相差十分悬殊的子系统，一个是控制飞行器质心运动的系特别的P<=4时，可得到P阶精度算法可以将原先单个方程中的f和y看作向量来处理，这样就可把前面介绍的各种算法推广到一阶方程组中应用。另一个是控制飞行器运动姿态的系统，由于惯性小，用经典R-K方法求解，按（6.Ode23tb刚性,TR-BDF2,即R-K的第一级用梯形法则,第二级用Gear法.更好的办法是根据精度自动地选择步长h3、Runge-Kutta(龙格-库塔)方法统，当飞行器速度较大时，质心运动惯性较大，因而相对来说相对来说变化很快，因而整个系统就是一个刚性系统。Ode15s刚性,多步法,采用Gear’s(或BDF)算法,精度中等.可以将原先单个方程中的f和y看作向量来处理，这样就可把前面介绍的各种算法推广到一阶方程组中应用。16然后计算i=1时的K1，L1，K2，L2，K3，L3，K4，L4，y2和z2;再计算i=2时K1，L1，…，y3和z3；………依此类推，直到i=9时的y10和z10，即可得到数值解：。Ode23非刚性,单步法,二三阶Runge-Kutta,精度低Ode45非刚性,单步法,四五阶Runge-Kutta,精度较高,最常用Ode113非刚性,多步法,采用可变阶(1-13)AdamsPECE算法,精度可高可低Ode15s刚性,多步法,采用Gear’s(或BDF)算法,精度中等.如果ode45很慢,系统可能是刚性的,可试此法Ode23s刚性,单步法,采用2阶Rosenbrock法,精度较低,可解决ode15s效果不好的刚性方程.Ode23t适度刚性,采用梯形法则,适用于轻微刚性系统,给出的解无数值衰减.Ode23tb刚性,TR-BDF2,即R-K的第一级用梯形法则,第二级用Gear法.精度较低,对于误差允许范围比较差的情况,比ode15s好.functionxdot=lorenz(t,x)xdot=[-8/3,0,x(2);0,-10,10;-x(2),28,-1]*x;x0=[0,0,eps]';[t,x]=ode23('lorenz',[0,100],x0);plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));plot(x(:,1),x(:,2));plot(x(:,2),x(:,3));plot(x(:,1),x(:,3));21functionyp=examstiff(t,y)yp=[-2,1;998,-998]*y+[2*sin(t);999*(cos(t)-sin(t))];y0=[2;3];tic,[t,y]=ode113('examstiff',[0,10],y0);toctic,[t,y]=ode45('examstiff',[0,10],y0);toctic,[t,y]=ode23('examstiff',[0,10],y0);toctic,[t,y]=ode23s('examstiff',[0,10],y0);toctic,[t,y]=ode15s('examstiff',[0,