矩阵论第三章H阵（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）第三章H阵前两章讨论了基本概念,对于线性空间和线性变换作了概要介绍。在本章中,我们要讨论一类应用广泛的矩阵—正规阵或称规范阵,其中两种,实对称阵和复共轭对称阵更为常见。尽管读者对于二次型是有所了解的,但是为了解释方便起见,我们还是先作一点简要的回顾。§3.1二次型n元二次齐式12,(,,,nijijijfxxxaxx=∑,1,2,ijn=当(ijijaCaR∈∈或时,称为复(实二次齐式,表明所用数域为C(R或。二次齐式常可用矩阵形式表示出,且总是用对称阵表示。原因很简单,一则是由于交换律ijjixxxx=在原式中常记成一项,而在用矩阵表示时,要分成两项来写,自然,二等分法是既简单而又方便的作法。然而这只是表面的,更主要的原因,还在于下面这点。定义nnAC×∈若TAA=称A为对称阵,若TAA=−称A为反对称阵,按此,任取nnXC×∈,则X常可表示成对称阵与反对称阵之和:22TTXXXXX+−=+(3.11−显然,右端第一项是对称的,而第二项则是反对称的。容易推出,若TAA=−,则0,TxAx=x∀因为对任取的,TxxAx表示一个数,故有((TTTTTTxAxxAxxAxxAx===−故0TxAx=x∀(3.12−因此,即使碰到由非对称阵形成的二次齐式TxBx,也可以作出由对称阵所表出的相应式子:22TTTTTTBBBBxBxxxxxxAx+−=+=其中,2TBBA+=是对称阵。所以通常都用对称阵来表示二次齐式。就实二次齐式而论,此时nnAR×∈,还可以利用内积来写,即12(,,,TnijijijfxxxaxxxAxAxx===〈〉∑(3.13−由于内积在复数域和实数域中的不同记法,对于复二次齐式(3.13−式一般不能用。不过在复二次齐式中,常见的有一类是共轭对称齐式,即1212(,,(,,nnfxxxfxxx=ijijijjiijaxxaa−===∑在记成矩阵形式时,可以利用复内积形式,即,HijijijaxxxAxAxx==〈〉∑ijjiaa=(3.1−4此时有:;((;(HHTTHTAAxxxAAA=====定义,nnAC×∈若HAA=,称A为共轭对称阵或Hermitian阵,简称H阵;若HAA=−,称A为反共轭对称阵或skewHermitian−阵,简称反H阵。由于在实数域中取共轭是恒等运算,且RC⊂,故把H阵限制在R上时,就是实对称阵。二次齐式经过配方以后,可化成仅含平方项之和的形式。用变换的观点来看,配方过程不过是取变换的过程,最终取得一个非异变换矩阵P,令xPy=,有21((rTTTTiiixAxPyAPyyPAPyby====∑其中0;ibC≠∈iy是y的分量;rn≤这时,当然有:1200TrbbPAPb⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(3.15−用矩阵语言来说,就是:若TAA=,则P∃非异,能使12(,,00TrPAPdiagbbb=(3.16−显然,r是矩阵A的秩,也称为二次齐式f的秩。对A施行的这种变换,称为合同变换,即若nnAC×∈,,TBPAPP=非异,则称A合同于B。不难推得:合同关系是一种等价关系。由于非异阵是一系列初等阵的乘积,故P可表示成12kPEEE=iE为初等阵于是有2112TTTTkkPAPEEEAEEE=这就是说:对A的行和列进行相同的初等变换,就是在对A施行合同变换。可见对A施行合同变换,保持A的对称性不变。而当A是对称阵时,合同变换能把A化为对角阵。更进一步,,nnTACAA×∈=,按(3.16−式有P′,能使12(,,0,0TrPAPdiagbbb′′=取11Pdiag=显然11TPP=于是有1111((TTTTPAPPPAPPPPAPP′′′′==11⎞⎟⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠120rbbb⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠11⎞⎟⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⋅⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠000rI⎛⎞=⎜⎟⎝⎠(3.1—7这就是说,复对称阵合同于它的相抵阵的标准形。但若所取数域为nnRAR×∈或时,此说不成立。因若某ib,于是作不出1P,因而没有(3.1—7式。不过当0ib<时,0ib−>,可这样的实数来作1P,但是所用作法,只能把对角元化为1±,即原来是正元的化为1+,而原来是负元的化为1−。换言之,这样做只能改变ib的值,不能改变ib的符号。可见对于实对称阵而言,经合同变换化成对角形后,在对角元中的负项个数是保持不变