矩阵论复习缩减版（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）一、求过渡矩阵及向量在基下的坐标例1.1已知线性空间R的两个基（I）ε4=(1,0,0,0)，ε2=(2,1,0,0)，ε3=(3,2,1,0)，ε4=(4,3,2,1)（II）ξ=(1,0,-2,0)，ξ2=(0,2,0,-1)，ξ3=(-1,0,3,0)，ξ4=(0,1,0,3)（1）求由基（I）改变为基（II）的过渡矩阵.（2）求向量ξ=(1,2,3,4)在基（II）下的坐标.解：取中间基（III）e于是，其中=(1,0,0,0)，e2=(0,1,0,0)，e3=(0,0,1,0)，e4=(0,0,0,1)(ε1,ε2,ε3,ε4)=(e1,e2,e3,e4)A，234⎤，即由基（III）到基（I）的过渡矩阵为A.123⎥⎥012⎥⎥001⎦⎡1⎢0A=⎢⎢0⎢⎣0又(ξ,ξ,ξ,ξ)=(e,e,e,e)B，12341234其中⎡10-1⎢B=⎢⎢-203⎢⎣0-100⎤1⎥⎥0⎥⎥3⎦，即由基（III）到基（II）的过渡矩阵为B.所以(ξ-1，,ξ,ξ,ξ)=(ε,ε,ε,ε)AB12341234于是得由基（I）改变为基（II）的过渡矩阵为⎡1⎢0-1C=AB=⎢⎢0⎢⎣0234⎤123⎥⎥012⎥⎥001⎦-1⎡10-1⎢⎢⎢-203⎢⎣0-100⎤⎡1-210⎤⎡10-11⎥⎢01-21⎥⎢⎥=⎢⎥⎢0⎥⎢001-2⎥⎢-203⎥⎥⎢3⎦⎢⎣0001⎦⎣0-100⎤⎡-1-42-2⎤⎥⎢⎥1⎥=⎢41-64⎥0⎥⎢-223-6⎥⎥⎢⎥3⎦3⎦⎣0-10.（2）设向量ξ=(1,2,3,4)在基（II）下的坐标为(x1,x2,x3,x4)，则ξ=x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3+x4ξ4，x4(0,1,0,3)即(1,2,3,4)=x(1,0,-2,0)+x(0,2,0,-1)+x(-1,0,3,0)+123=(x1-x3,2x2+x4,-2x1+3x3,-x2+3x4)于是⎧⎪⎪2x2+x4=2⎨⎪-2x1+3x3=3⎪⎩-x2+3x4=4x1-x3=1，解得x1=6,x2=210，,x3=5,x4=77故向量ξ=(1,2,3,4)在基（II）下的坐标为(6,2,5,10).77例1.2（P14例1.8）已知矩阵空间R2⨯2的两个基（I）A⎡10⎢⎤，⎡10⎤，⎡01⎤，⎡01⎤1=⎣01⎥⎦A2=⎢⎣0-1⎥⎦A3=⎢⎣10⎥⎦A4=⎢⎣-10⎥⎦（II）B⎡⎢11⎤，⎡11⎤，⎡11⎤，⎡10⎤1=⎣11⎥⎦B2=⎢⎣10⎥⎦B3=⎢⎣00⎥⎦B4=⎢⎣00⎥⎦（1）求由基（I）改变为基（II）的过渡矩阵；（2）求矩阵A=⎡56⎤在基（I）下的坐标.⎢⎣78⎥⎦解：（1）取中间基（III）E⎡10⎤，⎡01⎤，11=⎢E⎣00⎥⎦12=⎢⎣00⎥⎦E=⎡00⎢⎤，⎣10⎥⎦E⎡00⎤，2122=⎢⎣01⎥⎦于是(A1,A2,A3,A4)=(E11,E12,E21,E22)C1，其中，即由基（III）到基（I）的过渡矩阵为C.⎡⎢1100⎤1C0111⎥1=⎢⎢⎢001-1⎥⎥⎣1-100⎥⎦又(B1,B2,B3,B4)=(E11,E12,E21,E22)C，2其中⎡111⎤，即由基（III）到基（II）的过渡矩阵为C.⎢1C1110⎥2=⎢⎢⎢1100⎥⎥⎣1000⎥⎦所以(B,B,B3,B4)=(A1,A2,A3,A4)C-11C，122于是得由基（I）改变为基（II）的过渡矩阵为⎡⎢110⎤-1⎡⎢1111⎤1⎤⎡1011⎤11⎤C=C-10111⎥1C2=⎢⎢⎢1110⎥⎡111⎥⎢001-1⎥⎥⎢00-1⎥⎢0⎥⎡21111110⎥=⎢10⎥⎥⎣1-100⎥⎢1100⎥⎥=1⎢2⎢1⎢0110⎥⎥⎢⎥1⎢01⎦⎣1000⎥⎦⎢⎣01-11⎥⎢⎦⎢1⎣1101⎥2⎢22⎦⎢⎣0010⎥⎦（2）设矩阵A=⎡56在基（I）下的坐标为⎢⎤(x1,x2,x3,x4)，⎣78⎥⎦A=x1A1+x2A2+x3A3+x4A4，即⎡56⎢⎤⎡10⎤⎡10⎤⎡01⎤⎡01⎤⎡x1x3+x4⎤⎣78⎥⎦=x1⎢⎣01⎥⎦+x2⎢⎣0-1⎥⎦+x3⎢⎣10⎥⎦+x+x24⎢⎣-10⎥⎦=⎢⎣x3-x4x⎥1-x2⎦则于是⎧x1+x2=5，解得⎪⎪x3+x4=6⎨⎪x3-x4=7⎪⎩x1-x2=8133131，x1=,x2=-,x3=,x4=-2222