(每日一练)2023高中数学定积分笔记重点大全单选题1、在数学中，若干有关联的曲线经过叠加或组合可以形成一些形状优美、寓意美好的曲线，如图的“心形”曲2线퐶恰好就是曲线퐶1:푦=√1−(|푥|−1)和曲线퐶2:|푥|=cos푦+1(−휋≤푦≤0)组合而成的，则曲线퐶所围成的“心形”区域的面积等于（）11휋13휋7휋A．B．3휋C．D．442答案：B解析：1曲线퐶与푥轴围成的区域为两个半径均为1的半圆面（圆心分别为푂(−1,0)、푂(1,0)，其面积为×휋×12+11221×휋×12=휋.求曲线|푥|=cos푦+1(−휋≤푦≤0)与푥轴围成的区域的面积有两种方法.2휋解法一：设퐹(0,−휋)，线段퐸퐹的中点为퐺(1,−)，2因为曲线푥=cos푦+1(−휋≤푦≤0)关于点퐺对称，所以可将曲线푥=cos푦+1(−휋≤푦≤0)与푥轴、1푦轴围成的区域割补为直角三角形푂퐸퐹的区域，于是曲线푥=cos푦+1(−휋≤푦≤0)与푥轴、푦轴围成的区域的面积就是直角三角形푂퐸퐹的面积，11即푆=|푂퐸|⋅|푂퐹|=×2×휋=휋；根据对称性，△푂퐸퐹22可得曲线|푥|=cos푦+1(−휋≤푦≤0)与푥轴围成的区域的面积为2휋.解法二：曲线|푥|=cos푦+1(−휋≤푦≤0)与푥轴围成的区域的面积为：0[()()]0()∫−휋1+cos푦−−1−cos푦푑푦=2∫−휋1+cos푦푑푦=2휋.由此，曲线퐶所围成的“心形”区域的面积等于휋+2휋=3휋.故选:B.小提示：关键点睛：解法一的关键是割补思想的运用，解法二运用了定积分的办法，这是解决不能直接运用公式的一般性方法.212、计算定积分∫(2푥−)푑푥=（）푥2135911A．B．C．D．22222答案：B解析：利用微积分的基本定理求解.212212∫(2푥−)푑푥=푥|+|，푥21푥112215=2−1+−1=，22故选：B3、曲线푦=sin푥(0≤푥≤2휋)与坐标轴所围成的面积是（）5A．2B．3C．D．42答案：D解析：根据正弦函数的性质，即求푦=sin푥(0≤푥≤휋)与x轴围成面积的二倍，利用定积分公式，即可求得答案.由푦=sin푥(0≤푥≤2휋)在x轴上下两侧面积相等可得，휋휋푆=2∫sin푥푑푥=−2cos푥|0=−2(cos휋−cos0)=40故选：D14、∫(√4−푥2+sin푥)푑푥=（）−1ππ2πA．+2√3B．+√3C．+√3D．π+√3333答案：C解析：结合几何意义求得定积分.111∫(√4−푥2+sin푥)푑푥=∫(√4−푥2)푑푥+∫(sin푥)푑푥，−1−1−131()()1()[()]∫−1sin푥푑푥=−cos푥|−1=−cos1−−cos−1=−cos1+cos1=0.푦=√4−푥2,푥2+푦2=22(푦≥0)，表示圆心在原点，半径为2的圆的上半部分.π퐴(1,√3),퐵(−1,√3)在圆上，所以∠퐴푂퐵=，31112π所以∫(√4−푥2)푑푥=×π×22+2×(×1×√3)=+√3.−162312π所以∫(√4−푥2+sin푥)푑푥=+√3.−13故选：C5、如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点，则该点恰好取自阴影部分的概率为（）111111A．−B．C．D．−4휋2642휋答案：B4解析：利用定积分的几何意义求阴影部分的面积，再根据几何概型的面积比求概率即可.1111阴影面积푠=∫(푥−푥2) 푑푥=(푥2−푥3)|1=，正方形面积푠=1，102306푠1∴所求的概率푝=1=，푠6故选：B5