矩阵的加法与数积（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）第二章矩陣§矩陣的加法與數積主題1：矩陣的基本認識1.矩陣的引入：聯立方程組：－＞矩陣M=直行橫列2矩陣的基本名詞：(1)元(element)：矩陣中列出來的每個數稱為矩陣的元。(2)列(row)：同一水平線各元合稱此矩陣的一列。(3)行(column)：同一鉛直線各元合稱此矩陣的一行。(4)位於第i列，第j行的元稱為(i,j)元。(5)當一個矩陣M有m列n行時，我們稱M為階的矩陣。(6)當一個矩陣M有n列n行時，我們稱M為n階方陣。3.矩陣的相等：設A=，B=，若m=p，n=q，且對於任意i與j恆有，則稱A和B相等，以A=B表示。4.特殊矩陣：(1)設A=是一個階矩陣，作一階的矩陣B=，其中，則稱矩陣B為矩陣A的轉置矩陣，符號：B=。例如：A=，=(2)設A=是一個n階方陣，若，則稱A是對稱方陣。例如A=為一個對稱方陣。(3)設A=是一個n階方陣，若，則稱A是反對稱方陣。※注意主對角線=0例如：A=是反對稱方陣。(4)單位方陣：若一個階方陣，由左上角到右下角的對角線上各位置的元(即(1,1),(2,2)…(n,n)元)都是1，而其餘各元都是0，則稱為n階單位方陣，以表之。例：=，=，……，=。主題2：矩陣的加減法與係數積1.矩陣的加法：設A=B=，則A+B=。且A+B=B+A，A+(B+C)=(A+B)+C2.矩陣的減法：設A=，B=，則AB=。且ABBA3.矩陣加法與減法的基本性質：(1)加法單位元素：若A為mn階矩陣，若存在一個mn階矩陣O，使得A+O=O+A，則稱O為階矩陣之加法的單位元素。O=稱為階零矩陣。(2)加法反元素：設A=為一階矩陣，若存在一個矩陣A，使得A+(A)+(A)+A=O，則稱A為A的mn階矩陣之加法反元素。即A=且AB=A+(B)；(3)設A、B、C為mn階矩陣，則下列性質成立：(a)交換律：A+B=B+A(b)結合律：A+(B+C)=(A+B)+C(c)A+(A)+(A)+A=O(d)(A)=A(e)(A+B)=A+(B)(4)移項法則：設A、B、C都是同階方陣，且A+B=C，則A=CB且B=CA。[證明]：∵為A+B=C，等式兩邊同加(B)得(A+B)+(B)=C+(B)，A+(B+(B))=C+(B)A+O=CB，A=CB，同理B=CA。4.係數積：(1)定義：若A=為一mn階矩陣，而r是任意實數，則rA=，此時稱rA是A係數積。(2)性質：設A、B為同階的矩陣，r,s為實數，則下列性質成立：(1)r(A+B)=rA+rB(2)(r+s)A=rA+sA(3)(rs)A=r(sA)※注意事項：(1)二矩陣若大小一樣(都是mn階矩陣)，則可以相加減。(2)一矩陣可以乘上r倍(r為實數，相當於每個位置都乘上r倍)§矩陣的乘法及其意義主題1：矩陣的乘法1.矩陣乘法的定義：若A為一個mn的矩陣，而B為是一個np的矩陣，則其乘積AB是一個mp的矩陣，而且AB的(i,j)元是由A的第i列中各元(有個)與B中的第j行中各對應元(有個)之乘積和。即，，，AB=C對於每組元，i=1,2,…,m、j=1,2,…,p都有cij=第i列[ai1ai2ai3…ain]與第j行的元素對應相乘==根據前面的定義：第i,j位置等於第一個的第i列和第二個的第j行作內積可以看出兩矩陣的大小必須互相配合才能相乘，由上述理論可得(mn的矩陣)‧(np的矩陣)=(mp的矩陣)※矩陣的乘法就像是向量內積的推廣。2.矩陣乘法沒有以下性質：(1)交換律不成立：ABBA(除了特殊情形外)(2)消去律不成立：時(除了特殊情形外)(3)若AB=O(零矩陣)，則A=O或B=O是錯誤的。(4)二項式定理不能適用於矩陣：不能寫成(才可以)§一次方程組與矩陣的列運算主題1：一次方程組一次方程組的解法常見的有：(1)代入消去法(2)加減消去法(3)高斯消去法2.矩陣就是把一串數字排成矩形的陣式，如是第列（橫的）第行（直的）的元素上面這個矩陣有m列、n行，我們稱它是階的矩陣。若，則稱它是n階的方陣。3.一次方程組：(1)它的係數所排成的矩陣稱為這個方程組的係數矩陣。(2)它的係數以及等號右邊的常數所排成的矩陣稱為這個方程組的增廣矩陣。(3)每一個方程組對應一個增廣矩陣，將矩陣進行“列運算”就可得出方程組的解。對於增廣矩陣：(a)任意兩列對調，不影響方程組的解。(b)任一列乘以不是0的數加到其他一列，不影響方程組的解。(這是加減消去法的觀念）利用上述方法求解，我們稱為高