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2015定积分高考重点2015定积分高考重点2015定积分高考重点金牌数学高三专题定积分与微分题型一:面积的计算例1、计算两条抛物线与所围成的面积.解求解面积问题,一般需要先画一草图(图3),我们要求的是阴影部分的面积.需要先找出交点坐标以便确定积分限,为此解方程组:得交点(0,0)和(1,1).选取为积分变量,则积分区间为,根据公式(1),所求的面积为.图3一般地,求解面积问题的步骤为:作草图,求曲线的交点,确定积分变量和积分限.写出积分公式.计算定积分.例2计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积解(1)画图(2)确定在y轴上的投影区间:[24](3)确定左右曲线(4)计算积分拓展变式练习1、求在区间[,2]上连续曲线y=lnx,x轴及二直线x=,与x=2所围成平面区域(如图2)的面积。解:已知在[,2]上,lnx≤0;在区间[1,2]上,lnx≥0,则此区域的面积为:A==+=+=.2、求抛物线y2=x与x—2y-3=0所围成的平面图形(图3)的面积A.解:该平面图形如图所示.先求出抛物线与直线的交点P(1,—1)与Q(9,3)。用x=1把图形分为左、右两部分,应用公式(1)分别求的它们的面积为:==.=.所以。本题也可把抛物线方程和直线方程改写成:x=y2=1(y),x=2y+3=2(y),y∈[-1,3]。并改取积分变量为y,便得:A===。3、求由曲线与直线所围成的平面图形的面积.解作图(图4),解方程组得两条曲线的交点坐标为(2,-2),(8,4).选取为积分变量,积分区间为[—2,4].根据公式(2),所求的面积为=18图4题型二:例2、(2010·辽宁锦州模拟)如图,阴影部分面积等于()A.2eq\r(3)B.2-eq\r(3)C.eq\f(32,3)D。eq\f(35,3)[答案]C[解析]图中阴影部分面积为拓展变式练习1、已知函数y=x2与y=kx(k〉0)的图象所围成的封闭区域的面积为eq\f(9,2),则k等于()A.2B.1C.3D.4[答案]C[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=x2,y=kx))消去y得x2-kx=0,所以x=0或x=k,则所求区域的面积为eq\i\in(0,k,)(kx-x2)dx=(eq\f(1,2)kx2-eq\f(1,3)x3)|eq\o\al(k,0)=eq\f(9,2)。即eq\f(1,2)k3-eq\f(1,3)k3=eq\f(9,2),解得k=3。故选C.2、抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积为________.[答案]18[解析]由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2=2x,y=4-x))解得两交点A(2,2)、B(8,-4),选y作为积分变量x=eq\f(y2,2)、x=4-y∴S=eq\i\in(,2,)-4[(4-y)-eq\f(y2,2)]dy=(4y-eq\f(y2,2)-eq\f(y3,6))|eq\o\al(2,-4)=18.3、曲线y=cosx(0≤x≤2π)与直线y=1所围成的图形面积是()A.2πB.3πC.eq\f(3π,2)D.π[答案]A[解析]如右图,S=∫eq\o\al(2π,0)(1-cosx)dx=(x-sinx)|eq\o\al(2π,0)=2π。[点评]此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决,但若把积分区间改为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6),π)),则对称性就无能为力了.4、求由曲线与直线所围图形的面积。思路:由于所围图形无论表达为X-型还是Y—型,解法都较简单,所以选其一做即可解:见图6-2-101图6-2-1∵所围区域D表达为X-型:,(或D表达为Y-型:)∴()5、求在区间[0,/2]上,曲线与直线、所围图形的面积解:见图6—2—20图6-2-21∵所围区域D表达为X—型:,(或D表达为Y—型:)∴()题型三:计算例3、求由曲线、与直线所围图形的面积思路:由于所围图形表达为X—型时,解法较简单,所以用X-型做解:见图6-2-701图6-2-71∵两