(每日一练)通用版2023高中数学定积分考点专题训练单选题휋、计算2的值为（）1∫0cos푥푑푥A．－1B．0C．1D．휋答案：C解析：利用微积分基本定理即可得答案.휋휋휋∫2cos푥푑푥=sinx|2=sin-sin0=1,002故选：C小提示：本题主要考查了微积分基本定理，属于基础题.2、函数푦=−푥3，푦=√푥与푦=1图象围成区域面积为푆，则（）A．푆>1B．푆<1C．푆=1D．无法确定答案：A解析：在同一平面直角坐标系中作出三个函数的图象，求出交点坐标，再由定积分的几何意义可得0[푆=∫−11−1(−푥3)]d푥+∫(1−√푥)d푥，再由微积分基本定理计算푆的值即可求解.0分别作出函数푦=−푥3，푦=√푥与푦=1图象如图所示：1푦=−푥3，푦=√푥都过点푂(0,0)，푦=−푥3由{得푥=−1，所以퐴(−1,1)，푦=1푦=푥由{√得푥=1，所以퐵(1,1)，푦=101所以区域面积为푆=∫[1−(−푥3)]d푥+∫(1−√푥)d푥−10013314021=∫(1+푥)d푥+∫(1−√푥)d푥=(푥+푥)|−1+(푥−푥2)|0−1043123113=0−(−1+)+(1−)−0=+=>1，434312故选：A.3、在由直线푥=1，푦=푥和푥轴围成的三角形内任取一点(푥,푦)，记事件퐴为푦>푥3，퐵为푦>푥2，则푃(퐵|퐴)=1112A．B．C．D．6433答案：D解析：由所求问题可知，本题是求条件概率，因此可以运用公式求解．同时本题又是一个几何概型，这就涉及到求面积，三角形面积可以直接使用三角形面积公式，而对于不规则图形的面积可以采用定积分的方法来求解．图形如下图所示：211直线푥=1，푦=푥和푥轴围成的三角形的面积为×1×1=；221111直线푥=1，푦=푥，푦>푥3和푥轴围成的三角形的面积为∫(푥−푥3)푑푥=푥2|1−푥4|1=；0204041111直线푥=1，푦=푥，푦>푥2和푥轴围成的三角形的面积为∫(푥−푥2)푑푥=푥2|1−푥3|1=；0203061114161푃(퐴퐵)32푃(퐴)==,푃(퐴퐵)==∴푃(퐵|퐴)===故本题选D.1213푃(퐴)13222小提示：本题考查了几何概型、条件概率、定积分的应用.解答题24、求由曲线푦=与直线푥+푦=3所围图形的面积．푥3答案：−2ln2．2解析：联立方程组，求得积分上限和下限，结合微积分基本定理，即可求解.푥+푦=3由方程组{2，解得푥=1或푥=2，푦=푥322푥23由定积分的几何意义，可得面积为푆=∫[(3−푥)−]푑푥=(3푥−−2ln푥)|2=−2ln2.푥212125、在区间[0，1]上给定曲线y＝x.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．答案：答案见解析解析：试题分析：221由题意结合定积分的几何意义可求得푆=푡3,푆=푡3−푡2+，结合定义域0≤푡≤1讨论函数的单调性可得1323311当푡=时，S1与S2之和取得最小值，且最小值为.24试题解析：222S1面积等于边长分别为t与t的矩形面积去掉曲线y＝x与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t－x2dx＝t3.222S2的面积等于曲线y＝x与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t，1－t面积，即S2＝xdx－t2(1－t)＝t3－t2＋.32所以阴影部分的面积S(t)＝S1＋S2＝t－t＋(0≤t≤1)．令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，得t＝0或t＝.t＝0时，S(t)＝；t＝时，S(t)＝；t＝1时，S(t)＝.4所以当t＝时，S(t)最小，且最小值为.点睛：(1)准确画出图形是正确用定积分表示面积的前提．(2)利用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数互为逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．5