第三章指数函数和对数函数指数函数、幂函数、对数函数是高中课程中的三大基本函数，下面以函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x为例探究一下它们的差异．问题1：这三种函数在(0，＋∞)上的单调性怎样？提示：都是单调递增．问题2：右图是同一直角坐标系中三个函数的图像，当log2x<2x<x2时，x的范围是什么？提示：2<x<4.问题3：当log2x<x2<2x时，x的取值范围是什么？提示：0<x<2或x>4.问题4：从三种函数图像的比较，当自变量x越来越大时，它们的增长速度怎样？提示：2x的值迅速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道．当a＞1时，指数函数y＝ax是，并且当a越时，其函数值的增长就越快．当a＞1时，对数函数y＝logax是，并且当a越时，其函数值的增长就越快．当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn显然也是，并且当x>1时，n越其函数值的增长就越快．1．对数函数y＝logax，当a>1时，在(0，＋∞)上是增函数，其增长速度平缓(越来越慢)．2．指数函数y＝ax，当a>1时，在(0，＋∞)上是增函数，其增长速度急剧(越来越快)，常用“指数爆炸”来形容．3．幂函数y＝xn，当n>1时，在(0，＋∞)上是增函数，其增长速度相对平稳．[例1]函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像，如图所示．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图像，比较f(8)，g(8)，f(2010)，g(2010)的大小．[思路点拨]先观察图像，比较相关区域函数值的大小，最后得出结论．[精解详析](1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x；(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1000，f(10)＝1024，∴f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)．∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<8<x2<2010.从图像上知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)；当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(2010)>g(2010)>g(8)>f(8)．[一点通]底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比底数大于1的对数函数模型增长要快，从这个实例我们可以体会到对数增长、直线上升、指数爆炸等不同函数类型增大的含义．解析：a、c对应的是幂函数，a的指数大于1，c的指数大于0小于1；b和d对应的函数是指数函数，且b中的底数大于1，d中的底数大于0小于1.答案：C2．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：作出三个函数的图像如图：3．幂函数y＝xn，当n>1时，在(0，＋∞)上是增函数，其增长速度相对平稳．4×2x－1(x∈N＋)．指数函数、幂函数、对数(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2t问题2：右图是同一直角坐标系中三个函数的图像，当log2x<2x<x2时，x的范围是什么？请问，你会选择哪种投资方案？1．正确认识“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”和幂函数增长差异．[例3]假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：提示：0<x<2或x>4.[例1]函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像，如图所示．从图像上知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)；(2)令函数y1＝x2，y2＝log2x，y3＝2x.在同一坐标系内作出上述三个函数的图像如图，然后作x＝，此直线必与上述三个函数图像相交．由图像知log22<2.[一点通]解决这类题目的关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图像．答案：D[例3]假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[思路点拨]首先确立不同回报对应的函数模型，结合其图像解决问题．(2)令函数y1＝x2，y2＝log2x，y3＝2x.关于x呈指数型函数变化的变量是________．提示：都是单调递增．b和d对应的函数是指数函数，且b中的底数大于1，d中的底数大于0小于