一、多元函数的概念例2理想气体的压强P与容积V，绝对温度T之间有下列依赖关系2.二元函数的定义当自变量x，y分别取x0，y0时，函数z的对应值z0，记作z0=f(x0,y0)，称为二元函数z=f(x,y)当x=x0，y=y0，时的函数值.函数的定义域是函数概念的一个重要组成部分.建立函数，一般是根据实际问题确定函数的定义域.对于由数学式子表示但未说明具体范围的函数z=f(x,y)，定义域为使函数z有意义的自变量取值的全体.求函数的定义域，就是求出使函数有定义的所有自变量的取值范围.例3求出二元函数的定义域.例4求函数z=ln(x+y)的定义域.例5求函数的定义域(a>0,b>0).例6求函数的定义域.二元函数定义域的图形可以是全平面，也可以是一条或几条曲线围成的平面的一部分，或者是零星的一些点.点集内包含边界上所有的点.3.二元函数的几何意义例7作二元函数z=1–x–y的图形.例8作二元函数的图形.例9作二元函数的图形.二、二元函数的极限定义2设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一去心邻域内有定义，如果动点P(x,y)在该邻域内以任意方式趋于定点P0(x0,y0)时，函数的对应值f(x,y)趋于一个确定数A，则称A为函数z=f(x,y)，当时的极限，记作当P(x,y)以不同路径趋于P(x0,y0)点时，函数趋于不同的值，则可以断定函数在P0(x0,y0)点的极限不存在.例10讨论二元函数当P(x,y)沿直线y=kx轴趋于点O(0,0)时，即f(x,y)=f(x,kx)=(x≠0)，三、二元函数的连续性如果在点P0(x0,y0)处，自变量x，y各取增量△x，△y，函数随之取得增量△z，即即如果函数z=f(x,y)在开区域D上各点都连续，则称函数z=f(x,y)在开区域D上连续.连续的二元函数z=f(x,y)在几何上表示一张无孔无隙的曲面.例11证明函数在整个Oxy平面上连续.如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续，则称点P0(x0,y0)是函数f(x,y)的不连续点，或称间断点.二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点外，还可能有间断线.例12函数在圆周上的每一点都是间断点，因为在圆周上的点，函数无定义.圆周是该函数的一条间断线.如果z=f(x,y)在闭区域D的边界上每一点都连续，而且在域D内任一点也连续，则称z=f(x,y)在闭区域D上连续.在边界点P0(x0,y0)处的连续性定义为：当点P(x,y)在闭区域D上以任意方式趋于点P0(x0,y0)时，.如果闭区域D上任意两点之间的距离都小于或等于某个常数C，就称D为有界闭区域.与闭区间上一元连续函数的性质相似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质：二元初等函数的定义：设是初等函数f(x,y)定义区域内的一点，则有