课时知能训练之函数单调性一、选择题1．(2012·汕尾模拟)函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是()A．f(x)＝eq\f(1,x)B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)【解析】由题意知f(x)在(0，＋∞)上是减函数．A中，f(x)＝eq\f(1,x)满足要求；B中f(x)＝(x－1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C中f(x)＝ex是增函数；D中f(x)＝ln(x＋1)是增函数．【答案】A2．若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1,0)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]【解析】∵f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2在[1,2]上是减函数，∴a≤1.①又g(x)＝(a＋1)1－x在[1,2]上是减函数．∴a＋1＞1，∴a＞0②由①、②知，0＜a≤1.【答案】D3．定义新运算：当a≥b时，ab＝a；当a＜b时，ab＝b2，则函数f(x)＝(1x)x－(2x)，x∈[－2,2]的最大值等于()A．－1B．1C．6D．12【解析】由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.【答案】C4．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a的取值范围为()A．[1,4]B．[2,3]C．[2,5]D．[3，＋∞)【解析】∵f(x)＝x2－2ax＋5的对称轴方程x＝a.又∵f(x)在(－∞，2]上是减函数，∴2≤a，又∵x1，x2∈[1，a＋1]，∴|f(x1)－f(x2)|≤{f(x1)，f(x2)}max－f(a)．又∵|f(x1)－f(x2)|≤4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1－fa≤4，,fa＋1－fa≤4.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6－2a－5－a2≤4,6－a2－5－a2≤4))解得：－1≤a≤3.综上可知：2≤a≤3.【答案】B5．(2012·揭阳质检)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－ax＋1，x＜1,ax，x≥1))是R上的增函数，那么a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1，eq\f(3,2)]C．(1,2)D．[eq\f(3,2)，2)【解析】依题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a＞0，,a＞1，,a≥2－a×1＋1.))解之得eq\f(3,2)≤a＜2.【答案】D二、填空题6．(2011·江苏高考)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．【解析】f(x)的定义域(－eq\f(1,2)，＋∞)，y＝log5u在(0，＋∞)上是增函数，且x＞－eq\f(1,2)时，u＝2x＋1为增函数，函数f(x)的增区间是(－eq\f(1,2)，＋∞)．【答案】(－eq\f(1,2)，＋∞)7．(2012·东莞模拟)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a＞b.))设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．【解析】依题意，h(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，0＜x≤2，,－x＋3，x＞2.))当0＜x≤2时，h(x)＝log2x是增函数；当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，∴h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.【答案】18．(2011·北京高考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)，x≥2，,x－13，x＜2.))若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．【解析】当x≥2时，f(x)＝eq\f(2,x)是减函数，0＜f(x)≤1，当x＜2时，f(x)＝(x－1)3