第2章函数、导数及其应用练习81．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点也就是方程2x|log0.5x|－1＝0的根，即2x·|log0.5x|＝1，整理得|log0.5x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x.令g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，作g(x)，h(x)的图像如图所示．因为两个函数图像有两个交点，所以f(x)有两个零点．答案：B2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值()A．恒为正值B．等于0C．恒为负值D．不大于0解析：根据指数函数与对数函数的单调性可以推知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2x在(0，＋∞)上单调递减，函数f(x)在(0，＋∞)上至多有一个零点．若有零点，零点左侧的函数值恒正，右侧的函数值恒负，对于0＜x1＜x0，f(x1)的值恒为正值.答案：A3．[2014·山东]已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(1,2)D．(2，＋∞)解析：在同一坐标系中分别画出函数f(x)，g(x)的图像如图所示，方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图像有两个不同的交点，结合图像可知，当直线y＝kx的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y＝x－1的斜率时符合题意，故eq\f(1,2)<k<1.答案：B4．[2014·课标全国Ⅰ]已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)解析：当a＝0时，f(x)＝－3x2＋1有两个零点，不符合题意，故a≠0.f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝eq\f(2,a)，由题意得a＜0且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))＞0，解得a＜－2，选B.答案：B5．[2014·江苏]已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝|x2－2x＋eq\f(1,2)|.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是__________．解析：作出函数f(x)＝|x2－2x＋eq\f(1,2)|，x∈[0,3)的图像(如图)，f(0)＝eq\f(1,2)，当x＝1时，f(x)极大值＝eq\f(1,2)，f(3)＝eq\f(7,2)，方程f(x)－a＝0在[－3,4]上有10个根，即函数y＝f(x)的图像和直线y＝a在[－3,4]上有10个交点．由于函数f(x)的周期为3，则直线y＝a与f(x)的图像在[0,3)上应有4个交点，因此有a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))