第二课函数及其基本性质[核心速填]1．函数的概念设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的对应法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．其中集合A叫做函数的定义域；所有函数值构成的集合叫做函数的值域．2．判定函数的关键(1)定义域和对应法则是否给出．(2)根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值．3．映射与函数(1)映射与函数的区别在于函数必须建立在非空数集上，映射是建立在非空集合上．(2)集合M中有m个元素，集合N中有n个元素，则从集合M到集合N的映射个数为nm.4．函数的表示方法(1)列表法．(2)图象法．(3)解析法．5．函数的单调性(1)函数的单调性是函数在定义域的子区间上的性质．(2)函数在区间M上为增函数是指在区间M上函数值随着自变量的增大而增大．(3)函数在区间M上为减函数是指在区间M上函数值随着自变量的增大而减小．6．函数的奇偶性(1)函数的奇偶性是函数定义域上的性质．(2)奇函数的定义式为：f(x)＋f(－x)＝0⇔f(x)＝－f(－x)⇔eq\f(fx,f－x)＝－1(f(－x)≠0)．(3)偶函数的定义式：f(x)－f(－x)＝0⇔f(x)＝f(－x)⇔eq\f(fx,f－x)＝1(f(－x)≠0)．(4)奇函数的图象关于原点对称．(5)偶函数的图象关于y轴对称．[体系构建][题型探究]函数的概念函数有三要素：定义域、值域和对应法则，其中定义域是研究函数问题的前提条件，研究函数的性质首先要注意函数的定义域，而求函数的解析式、值域(最值)问题是高考的重点、热点．(1)函数y＝eq\f(3x2,\r(1－2x))＋(2x＋1)0的定义域是________．(2)定义域分别是Df，Dg的函数y＝f(x)，y＝g(x)，规定：函数h(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gxx∈Df且x∈Dg，,fxx∈Df且x∉Dg，,gxx∉Df且x∈Dg，))若函数f(x)＝－2x＋3，x≥1，g(x)＝x－2，x∈R，则函数h(x)的解析式为________，函数h(x)的最大值为________.【导学号：60462117】[思路探究](1)根据函数的解析式，列出使函数有意义的不等式组，求出解集即可．(2)根据函数h(x)的定义，对x进行分类讨论，可得出h(x)的解析式，求出分段函数每一段的最大值，最大者即为所求．[解析](1)∵函数y＝eq\f(3x2,\r(1－2x))＋(2x＋1)0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2x>0，,2x＋1≠0，))解得x＜eq\f(1,2)，且x≠－eq\f(1,2)，∴函数的定义域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2)，且x≠－\f(1,2))))).(2)①由于函数f(x)＝－2x＋3，x≥1，g(x)＝x－2，根据题意得：当x≥1时，h(x)＝f(x)g(x)＝(－2x＋3)(x－2)＝－2x2＋7x－6；当x＜1时，h(x)＝g(x)＝x－2.所以h(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x2＋7x－6x≥1，,x－2x<1.))②当x≥1时，h(x)＝－2x2＋7x－6＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(7,4)))2＋eq\f(1,8)，因此，当x＝eq\f(7,4)时，h(x)最大，h(x)的最大值为eq\f(1,8).若x＜1时，h(x)＝x－2＜1－2＝－1.∴函数h(x)的最大值为eq\f(1,8).[答案](1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,2)，且x≠－\f(1,2)))))(2)h(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x2＋7x－6x≥1，,x－2x<1))eq\f(1,8)[跟踪训练]1．已知二次函数y＝f(x)的最大值为13，且f(3)＝f(－1)＝5，则f(x)＝________.－2x2＋4x＋11[因为f(3)＝f(－1)＝5，所以函数y＝f(x)的对称轴为x＝1，又y＝f(x)的最大值为13，所以可设f(x)＝a(x－1)2＋13，且a<0，由f(3)＝a(3－1)2＋1