1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系学习目标：1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)3.在具体情境中，了解空集的含义并会应用．(难点)[自主预习·探新知]1．维恩(Venn)图用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩(Venn)图，其优点是可以形象地表示出集合之间的关系．2．集合间的关系思考1：如何理解子集、真子集的概念？[提示](1)子集与真子集的定义具有“判定”和“性质”的两重性．①A⊆B等价于对任意x∈A，都有x∈B；②AB等价于A⊆B，且至少有一个元素x∈B，但x∉A.(2)A⊆B包含A＝B和AB两种情况，真子集是子集的特殊情况．思考2：如何理解两集合相等？[提示](1)集合A中的元素与集合B中的元素相同，则集合A等于集合B，这是从集合中元素的特征出发来表达两个集合相等，它指明了两个集合的元素特征．(2)若A⊆B且B⊆A，则A＝B，这是从集合关系的角度表达，A与B相等，即对任意x∈A，都有x∈B；反之，对任意x∈B，都有x∈A，这说明集合A等于集合B.3．子集、真子集的性质(1)规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A.(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.(3)如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C.(4)如果AB，BC，则AC.4．集合关系与其特征性质之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则有(1)若p(x)⇒q(x)，则A⊆B；反之，若A⊆B，则p(x)⇒q(x)．(2)若p(x)⇔q(x)，则A＝B；反之，若A＝B，则p(x)⇔q(x)．[基础自测]1．思考辨析(1){0}是∅.()(2)正整数集是自然数集的子集．()(3)空集是任何集合的子集．()[解析](1)×∅是不含任何元素的集合，而{0}表示由一个元素0构成的集合．(2)√由正整数集和自然数集的概念知此题正确．(3)√规定空集是任何集合的子集，故正确．[答案](1)×(2)√(3)√2．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于()A．0B．1C．2D．－1C[由元素的互异性知x≠0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x2，,y＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0，))∴2x＋y＝2.]3．已知集合M＝{1,2,3,4,5}，N＝{1,5}，则有()A．N＜MB．NMC．N∈MD．N＝MB[由题意知N中任意元素都是M中的元素，且M中存在不属于N的元素，所以NM.]4．集合{x|x2＝2}含有的子集个数为________.【导学号：60462025】4[{x|x2＝2}＝{－eq\r(2)，eq\r(2)}中含有两个元素，所以它的子集有22＝4个．][合作探究·攻重难]两个集合之间关系的判定(1)已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示不正确的是()A．1∈AB．{－1}∈AC．∅⊆AD．{1，－1}⊆A(2)已知集合M＝{x|y＝x2－2}，集合N＝{y|y＝x2－2}，则集合M，N之间的关系是________．(3)设集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,2)，n∈Z))))，N＝xx＝eq\f(1,2)＋n，n∈Z，则集合M，N之间的关系是________．[思路探究]由元素关系⇒集合关系．[解析](1)A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，元素与集合之间是“∈”、“∉”关系，集合与集合之间是“⊆”“”“＝”关系，由选项可知A、C、D正确，选项B中应为{－1}A.(2)M＝{x|y＝x2－2}＝{x|x∈R}，N＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，所以NM.(3)N＝xx＝eq\f(1,2)＋n，n∈Z＝xx＝eq\f(2n＋1,2)，n∈Z,2n＋1为奇数，而集合M中，M＝xx＝eq\f(n,2)，n∈Z，所以NM.[答案](1)B(2)NM(3)NM母题探究：(变条件)本例(2)中，若P＝{(x，y)|y＝x2－2}，其他条件不变，则P与M，N之间有什么关系？[解]P＝{(x，y)|y＝x2－2}表示二次函数y＝x2－2上的点构成的集合，而M，N都是数集，故P与M，N之间不具有子集关系．[规律方法]判断两集合关系的关键及方法1．关键：明确集合中的元素及其属性．2．方法：(1