矩阵论的应用--系统的能观测性判据-济南大学（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）矩阵论的应用——系统的能观测性判据许文梦（控制科学与工程学院，控制理论与控制工程，2021018）摘要：能观测性是从控制和观测角度表征系统结构的一个基本特性。自卡尔曼在20世纪60年代初引入这个概念以来，已经证明它对于系统控制和系统估计问题的研究具有基本的重要性。近代控制理论中的许多基本问题，如极点配置、观测器设计、解耦问题、最优控制、最佳估计等，都与能观测性密切相关。本文主要讨论矩阵论知识在线性定常系统的能观测性判据中的应用。能观测性的定义所谓能观测性，是指由系统的量测输出向量y(t)识别状态向量x(t)的测辨能力，它回答了能否通过y(t)的量测值来识别x(t)的问题。考察连续时间线性时变系统，状态方程和输出方程为：（1）其中，x为n维状态，u为p维输入，y为q维输出，J为时间定义区间，A(t)、B(t)、C(t)和D(t)为nn、np、qn和qp时变矩阵，A(t)的元在J上为绝对可积，B(t)的元在J上为平方可积的。解的表达式为：其中，为系统的状态转移矩阵。输出响应表达式为：在研究能观测问题中，输出y和输入u都假定为已知，只有内部变量即初始状态是未知的。若定义进而：这表明：所谓能观测性即是研究的可由的完全估计性。但是，由于和的任意性，所以这又等价于研究u=0时，由y来估计的可能性，也即系统的零输入方程：（2）的能观测性。二、状态转移矩阵的定义定义：对于给定的线性定常系统其中x为n维状态向量，称满足如下的矩阵方程：的解阵为系统的状态转移阵。三、线性连续时间系统的能观测性判据1、线性定常系统的能观测性判据输入时系统的状态方程和输出方程：（3）其中:为维状态向量,为维输出向量,和分别为的常值矩阵判据1格拉姆矩阵判据线性定常系统（3）为完全能观测的充分必要条件是，存在有限时刻，使如下定义的格拉姆矩阵判据2秩判据线性定常系统（3）为完全能观测的充分必要条件是,其能观测性判据或满秩即rank=n或rank=n判据3PBH秩判据线性定常系统（3）为完全能观测的充分必要条件是，对矩阵A的所有特征值均成立：或判据4PBH特征向量判据线性定常系统（3）为完全能观测的充分必要条件是，A没有与C的所有行相正交的非零右特征向量，也即对A的任一特征值，使同时满足的特征向量判据5约当规范形判据线性定常系统（3）为完全能观测的充分必要条件是：（1）当矩阵A的特征值为两两互异时，由（3）导出的对角线规范形：中，不包含元素全为零的列。（2）当矩阵A的特征值为由（3）导出的约当规范形的阵中与每个约当小块的首列相对应的所有那些列的元素不全为零。四、能观测型判据例题1、给定一个连续时间线性时不变系统为判断是否完全能观测。解：A的特征多项式为所以A的特征值为。当时，解方程组。由得基础解系当时，解方程组。由得基础解系变换矩阵（1）通过观察知，矩阵不包含零列。所以系统完全能观测（2）A的特征值为。判别矩阵：对s=时，通过计算，有对s=时，通过计算，有这表明，满足PBH秩判据条件，系统完全能观测。（3）对，得基础解系所以对应的全部特征向量为所以。对，得基础解系所以对应的全部特征向量为所以。这表明，满足PBH特征向量判据条件，系统完全能观测。（4）据秩判据，系统完全能观测。五、应用小结在本文中用到的矩阵知识主要有矩阵的特征多项式，特征值，特征向量，矩阵的乘法，在判断系统的能观测性的五个判据中，都用到了这一基础知识，其次在约当规范形判据中使用的矩阵知识有求解特征向量的逆，求矩阵的对角线规范性，约当规范形，在秩判据中使用了的矩阵初等计算，矩阵的秩的求法，在格拉姆矩阵判据的计算中需要求解矩阵函数，其中在的求解中同样使用了特征值，特征向量，矩阵的逆，矩阵的乘法等矩阵知识。通过这些矩阵知识的使用让复杂的线性系统能观测性判断变得更容易计算。