求矩阵特征值与特征向量的新方法(完整版)实用资料.doc
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求矩阵特征值与特征向量的新方法(完整版)实用资料(可以直接使用,可编辑完整版实用资料,欢迎下载)长沙通信职业技术学院学报第2卷第1期JournalofChangshaTelecommunicationsVol.2No.12003年3月andTechnologyVocationalCollegeMar.2003求矩阵特征值与特征向量的新方法陈泽安(长沙电力学院湖南长沙410077[摘要]给出了求矩阵特征值与特征向量的新方法,改进了一般教科书上的常见方法,与常见方法比较,有如下优点。1只用矩阵运算;2求特征值时已进行了求特征向量的大部分运算或全部运算;3运算规范,减少了计算量。[关键词]特征值;特征向量;规范λ一矩阵[中图分类号]O241.6[文献标识码]A[文章编号]1671-9581(2003-01-066-04NewwaystoevaluatematrixeigenvalueandeigenvectorChenZeanAbstract:Thispapergivesusanewwaytoevaluatethematrixeigenvalueandeigenvector.Itsadvantagesoverthecommonwaysareasfollows:1evaluatingbyusingmatrixonly;2finishingthemajorityoperationorfulloperationbeforeevaluatingtheeigenvalue;3standardoper-ationandreducingtheoperationquantity.KeyWords:eigenvalue;eigenvector;standardλ—matrix1引言一般教科书[1][2][3]介绍的求矩阵A的特征值的方法是求一个特征方程的根,而求相应的特征向量的方法是求若干个齐次线性方程组(A-λiEX=0的基础解系。两者的计算是分割的,一个是计算行列式,另一个是解齐次线性方程组,且计算量都较大。而本文介绍的新方法,只用一种运算———矩阵运算,即在求矩阵A的特征值时,对特征矩阵(A-λE进行λ—矩阵的初等行变换,在求相应的特征向量时用[4]中定理1介绍的新方法,也只用矩阵运算。而且,在求A的特征值时,已经进行了大部分求相应特征向量的运算。有时,碰巧已完成了求特征向量的全部运算。所以新方法的计算量少,且运算规范,不易出错。①[收稿日期]2003-01-12[作者简介]陈泽安(1951-男,湖南益阳人,长沙电力学院数计系副教授,研究方向:概率论。第1期求矩阵特征值与特征向量的新方法长沙通信职业技术学院学报第2卷第1期求矩阵特征值与特征向量的新方法第六章矩阵特征值与特征向量练习班级:姓名:学号:求矩阵与的特征值与特征向量,并回答以下问题:不同矩阵是否可能有相同特征值,若有相同特征值时,其相应特征向量是否也相同?不同的矩阵可能有相同的特征值,有相同的特征值对应的特征向量不一定相同。设n阶矩阵,试证:.设为n阶方阵,且试证,已知四阶矩阵,的特征值为2,3,4,5,为4阶单位矩阵,求的特征值.为n阶矩阵,其特征值为2,4,…,2n,为n阶单位矩阵,则。.已知矩阵,则的特征值为(c).(A)1,0,1(B)1,1,2(C)-1,1,2(D)-1,1,1以上四个备选答案中,有且仅有一个是正确的;利用特征值的性质选择正确答案.七、求矩阵和的特征值与特征向量,并回答以下问题:⑴与分别可否相似对角化?为什么?⑵相似矩阵有相同特征值,其逆命题是否也成立?八、已知矩阵与矩阵相似,求,?九、设矩阵与相似,且,.⑴求,的值;⑵求可逆矩阵,使.十、用施密特方法,将矩阵的列向量正交规范化.十一、设矩阵的对应于特征值的特征向量为,矩阵的对应于特征值的特征向量为,且试证:向量与正交.十二、设及,求证:分块矩阵.(提示:求分块矩阵,使).补充练习:⒈填空:已知n阶方阵的特征值为,,…,,其对应特征向量分别为,,…,,则①(为常数)的特征值为对应的特征向量为;②(为正整数)的特征值为,对应的特征向量为;③可逆时,的特征值为,对应的特征向量为;④可逆时,的特征值为,对应的特征向量为;⑤为n阶可逆矩阵,的特征值为,对应的特征向量为;⑥的特征值为.(的特征向量与的特征向量有何关系,参见本章第二次作业第五题).⒉已知为n阶正交矩阵,证明:为可逆矩阵,且也是正交矩阵.⒊若皆为正交矩阵,证明:仍是正交矩阵.⒋已知两个单位正交向量,试求列向量,使得以为列向量的矩阵为正交矩阵.⒌已知,利用的相似对角化,求(为正整