第八章概率论与模糊数学§8.1概率论与数理统计简解概率是研究随机现象之数量规律的科学，而统计学的任务是收集和分析数据，并根据数据对事物或现象作出科学的推断。由于偶然因素对数据的收集和分析都有影响，所以在推断时，就必然要考虑到这些偶然因素对推断结果的影响。因此统计学中必须用到相当多的概率知识，建立在概率论基础上的统计学又称为数理统计学。1917年前苏联科学家伯恩斯坦首先给出概率的公理体系。柯尔莫哥洛夫于1933年又以更完善的形式提出了公理结构。从此，基本完成了现代意义下的概率论。§8.2随机现象与确定性现象一类现象，具有偶然性，在个别试验中呈现出不确定性，在大量的重复试验中，又具有统计规律性，我们称之为随机现象。概率论与数理统计是研究和揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科在随机试验中，对一次试验可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中却具有某种规律性的结果或结果组合，称之为此随机试验的随机事件，简称事件。§8.3样本空间（基本事件空间）与事件的运算1.包含与相等2.事件之和（或并）3.事件之积（或交)记号§8.4频率、概率与古典概型我们重复进行了n次试验，假定事件A出现了nA次，比值fn(A)=nA/n,称之为事件A在这n次试验中出现的频率。对于古典概型，由于例1作试验E：“将一枚均匀的硬币掷三次”，观察正、反面出现的情况。1.写出E的样本空间。2.设事件A1为“恰有一次出现正面”，求；3.设事件A2为“至少有一次出现正面”，求。例2袋中有6只球，其中4只白球，2只红球。从袋中任取球二次，每次取一只。考虑两种情况：（1）第一次取一球观察颜色后放回袋中，第二次再取一球，这种情况叫做有放回抽样；（2）第一次取后不放回袋中，第二次再取一球，这种情况叫做不放回抽样。试分别就上述二种情况下，求：1.取到二只球都是白球的概率；2.取到的二只球的颜色相同的概率；3.取到的二只球至少有一只是白球的概率。例3将n个不同的球随机地放入n个不同的盒子中去，每个盒子恰有一个球的概率是多少？§8.5条件概率与乘法定理有某产品共10只，其中有3只是次品，从中任取二只，每只取后不放回。问第一只取到次品后第二只再取到次品的概率是多少？例5设在一盒子中装有10个球，4个黑球，6个白球，抽球两次，一次抽取一个，取后不放回，问两次都抽到白球的概率是多少？§8.6全概率公式及应用定义设S为随机试验E的样本空间，为E的一组事件，若1.，{Bi}互不相容；2.，即为全概率。则称为样本空间的一个划分（分割)。例7对目标进行三次独立炮击，每次都重新瞄准。第一次命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7。目标中一弹而被击毁的概率为0.2，中两弹和三弹被击毁的概率分别为0.6和0.8，求射击三次击毁目标的概率。§8.7模糊数学及基础概念模糊数学的对象和任务概率论的产生，把数学的应用范围从必然现象的领域扩大到偶然现象的领域；而模糊数学则把范围从精确现象的领域扩大到模糊现象的领域。概率论是研究和处理随机性；而模糊数学是研究和处理模糊性。二者都属于不确定性数学，它们之间有深刻的联系，但又有本质的区别。模糊数学的基本概念简介例如，对于有限元的情况，，其中a,…,e表示如图的几何形状。表示“园块块”这一模糊概念。则模糊子集的图象、支集、核和边界模糊子集的运算例8“年轻”和“年老”是两个模糊检念。分别用模糊子集表示。其隶属度如图中两条曲线分别表示实际上可以解析表出的。隶属原则，设（等腰）：：