学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列有四个结论，其中正确的是________．(1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；(2)三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；(3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；(4)顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥．【解析】(1)不正确，正棱锥必备两点，一是底面为正多边形，二是顶点在底面内的射影是底面的中心；(2)缺少第一个条件；(3)缺少第二个条件；而(4)可推出以上两个条件，故正确．【答案】(4)2．一个正四棱柱的对角线的长是9cm，全面积等于144cm2，则这个棱柱的侧面积为________cm2.【解析】设底面边长，侧棱长分别为acm，lcm，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(a2＋a2＋l2)＝9，,2a2＋4al＝144，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,l＝7，))∴S侧＝4×4×7＝112cm2.【答案】1123．斜三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面两边所成角都是60°，那么这个斜三棱柱的侧面积是________.【导学号：60420037】【解析】由题意可知S侧＝2×5×2eq\r(3)＋5×4＝20＋20eq\r(3).【答案】20＋20eq\r(3)4．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．【解析】∵l＝eq\f(R＋r,2)，∴S侧＝π(R＋r)l＝2πl2＝32π，∴l＝4.【答案】45．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为eq\f(\r(15),3)，则正三棱台的侧面积S1与底面积之和S2的大小关系为__________．【解析】斜高h′＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)))2＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×4－2))2)＝eq\r(2)，S1＝eq\f(1,2)×(3×2＋3×4)×eq\r(2)＝9eq\r(2)，S2＝eq\f(\r(3),4)×22＋eq\f(\r(3),4)×42＝5eq\r(3)，∴S1>S2.【答案】S1>S26．圆锥侧面展开图的扇形周长为2m，则全面积的最大值为________．【解析】设圆锥底面半径为r，母线为l，则有2l＋2πr＝2m.∴S全＝πr2＋πrl＝πr2＋πr(m－πr)＝(π－π2)r2＋πmr.∴当r＝eq\f(πm,2π2－π)＝eq\f(m,2π－1)时，S全有最大值eq\f(πm2,4π－1).【答案】eq\f(πm2,4π－1)7．正六棱柱的高为5，最长的对角线为13，则它的侧面积为__________．【解析】如图，连结A1D1，AD1，则易知AD1为正六边形最长的对角线，由棱柱的性质，得AA1⊥A1D1，在Rt△AA1D1中，AD1＝13，AA1＝5，A1D1＝eq\r(132－52)＝12，由正六棱柱的性质A1B1＝eq\f(1,2)A1D1＝6，S棱柱侧面积＝6×6×5＝180.【答案】1808．如图1­3­2，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________．图1­3­2【解析】设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D1­AB1C为四面体，每个面都是边长为eq\r(2)的正三角形，其表面积为4×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(6),2)＝2eq\r(3)，所以三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为1∶eq\r(3).【答案】1∶eq\r(3)二、解答题9.如图1­3­3所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.图1­3­3(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；(2)若大棱锥PO的侧棱为12cm，小棱锥底面边长为4cm，求截得棱台的侧面积和全面积．【解】(1)设正六棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，则截面的边长为eq\f(a,2)，∴S大棱锥侧＝eq\f(1,2)c1h1＝eq\f(1,2)×6a×eq\r(b2－\f(a2,4))＝3aeq\r(b2－\f(a2,4))，S小棱锥侧＝eq\f(1,2)c2h2＝eq\f(1