抛物线及其标准方程[A级基础巩固]1．过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为()A．圆B．椭圆C．直线D．抛物线解析：选D如图，设点P为满足条件的一点，因为点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，所以点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线，故选D.2．若抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点与椭圆eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,5)＝1的上焦点重合，则该抛物线的准线方程为()A．y＝－1B．y＝1C．y＝－2D．y＝2解析：选C∵椭圆eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,5)＝1的上焦点坐标为(0，2)，∴抛物线的焦点坐标为(0，2)，∴抛物线的准线方程为y＝－2，故选C.3．已知抛物线的焦点为F(a，0)(a＜0)，则抛物线的标准方程是()A．y2＝2axB．y2＝4axC．y2＝－2axD．y2＝－4ax解析：选B因为抛物线的焦点为F(a，0)(a＜0)，所以抛物线的标准方程为y2＝4ax，故选B.4．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝8，则MN的中点到准线的距离为()A．5B．4C．3D.eq\f(5,2)解析：选B∵F是抛物线y2＝4x的焦点，∴F(1，0)，准线方程为x＝－1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴|MF|＋|NF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，解得x1＋x2＝6，∴线段MN中点的横坐标为3，∴线段MN的中点到准线的距离为3＋1＝4.5．(多选)已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x－3y＋11＝0的距离为d2，则d1＋d2的值可以为()A．3B．4C.eq\r(5)D.eq\r(10)解析：选ABD抛物线上的点P到准线的距离等于P到焦点F(1，0)的距离，所以点F到直线4x－3y＋11＝0的距离为d1＋d2的最小值，所以(d1＋d2)min＝eq\f(|4－0＋11|,\r(42＋32))＝3，即d1＋d2≥3，故选A、B、D.6．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为________．解析：将方程化为标准形式是x2＝eq\f(1,12)y，因为2p＝eq\f(1,12)，所以p＝eq\f(1,24).故到焦点的距离最小值为eq\f(1,48).答案：eq\f(1,48)7．已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为_______，准线方程为________．解析：圆M的圆心为(1，2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1.答案：(1，0)x＝－18．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－eq\f(y2,a)＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________．解析：根据抛物线的定义得1＋eq\f(p,2)＝5，p＝8.不妨取M(1，4)，则AM的斜率为2，由已知得－eq\r(a)×2＝－1，故a＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)9．根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)焦点到准线的距离是5；(2)焦点F在y轴上，点A(m，－2)在抛物线上，且|AF|＝3.解：(1)由题意知p＝5，则2p＝10.因为没有说明焦点所在坐标轴和开口方向，所以四种类型的抛物线都有可能，故标准方程可为y2＝10x，y2＝－10x，x2＝10y，x2＝－10y.(2)由题意可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)．由|AF|＝3，得eq\f(p,2)＋2＝3，所以p＝2.所以抛物线的标准方程为x2＝－4y.10．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))，准线l：y＝eq\f(p,2)，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，又|MN|＝3＋eq\f(p,2)，所以3＋eq\f(p,2)＝5，即p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2eq\r(6).法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1