计算机数学基础(下)第5编数值分析本章主要内容：13.1二分法二分法的算法步骤为：①准备：计算②二分：计算③判断：④否则，转向步骤②，继续。二分次数n与精度要求有关。若给定误差限，二分次数n用下式计算：例1求方程的近似解，精确到0.001。解：列表计算，[2001年7月试卷填空题9]设函数在区间上连续，若满足,则方程在区间上一定有实根。[2001年7月试卷证明题15]设方程在区间上有唯一实根，如果用二分法求该方程的近似根，要求绝对误差为0.001，证明至少要二分10次。证明：设方程的精确解为，近似根所以，取n=10，至少要二分10次。13.2迭代法迭代法的算法步骤为：①准备：选定初值②迭代：计算③判断：检验，转向步骤②，继续④迭代的几何意义：例1用迭代法求方程的根，精确到0.001。解：设，，有根区间为迭代公式在中迭代收敛。取初始值x0=1.5迭代，x1=1.8239,|x1-x0|=0.3239以x1=1.8239迭代，x2=1.7390，|x2-x1|=0.0849以x2=1.7390迭代，x3=1.7597,|x3-x2|=0.0207……以x5=1.7558迭代，x6=1.7555,|x6-x5|=0.0003方程根的近似值为x=1.755513.2.2收敛定理设迭代函数满足：⑴当时，有⑵存在正数，使得对于任意，都有，则：⑴方程在内有唯一解；⑵对于任意初值，迭代格式的迭代数列收敛到，且有误差估计式13.2.3快速迭代法简单迭代法虽然简单，但由于迭代收敛的缓慢使迭代次数增加，计算量变得很大，因而产生了快速迭代法。设在有根区间内变化不大，其近似值记为取初值x0,函数作一次迭代，得到的值称为校正值。对校正值用下式进行计算，得到改进值，则更精确，更逼近精确解。如此进行多次迭代，有：校正值：改进值：但由于对的估计比较困难，我们常用下面的方法：校正值：再校正值：改进值：上述方法称为快速迭代法(艾特肯法)。13.3牛顿法牛顿法的算法步骤为：①准备：选定初值x0,计算②迭代：按公式得x1，记③控制：否则，转向步骤④，④修改：否则，转向步骤②，，继续。例1用牛顿法求解方程，精确到0.001解：取x0=1.5，利用牛顿迭代公式，得近似根x1如此继续下去，故方程的根为例2计算的近似值。解：此类习题，关键是要建立一个便于迭代的函数。[牛顿迭代的收敛定理]设函数在区间上存在二阶导数，且满足：⑴⑵⑶⑷则牛顿迭代数列收敛到方程在内的唯一的根。牛顿迭代法初值的选取方法：根据由前面的收敛定理可知，f(x0)的选取要和f”(x)同号，因此，在这两种情况下都应选取x0=b由前面的收敛定理可知，f(x0)的选取要和f”(x)同号，因此，在这两种情况下都应选取x0=a[小结]若同号，应选取初值x0=b，若异号，应选取初值x0=a。作业：P.150、P.154、P.159、P.172带※的练习题