函数的单调性考纲要求1．函数的单调性的定义对于给定区间I上的函数f(x)及属于这个区间I的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，如果都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在给定区间上是增函数，这个区间就叫做这个函数的区间；如果都有f(x1)>f(x2)．那么就说f(x)在给定区间上是减函数，这个区间就叫做这个函数的区间．反映在图象上，若函数f(x)是区间I上的增(减)函数，则图象在I上的部分从左到右是上升(下降)的．2．判断函数单调性的常用方法(1)定义法；(2)基本初等函数的单调性；(3)函数的四则运算和复合函数单调性法则；(4)利用函数的图象（包括平移、对称变换）；(5)奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，而偶函数在对称的两个区间上则具有相反的单调性；(6)利用导函数研究．3．复合函数单调性的判断方法如果y＝f(u)和u＝g(x)单调性相同，那么y＝f(g(x))是增函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相反，那么f(g(x))是减函数．注意：(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，因此求函数的单调区间需先求定义域．(2)若要证明f(x)在区间[a，b]上是递增或者递减的就必须证明对区间[a，b]上任意的两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有不等式f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)．若要证明f(x)在区间[a，b]上不是单调函数，只要举出反例即可，即只要找到两个特殊的x1、x2不满足定义即可．答案：A答案：D3．函数f(x)＝ax－1＋logax(a>0且a≠1)，在[1,2]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为________．解析：函数y＝ax－1和y＝logax在公共定义域内具有相同的单调性，在[1,2]区间上的最值对应着函数的最值，故(a1－1＋loga1)＋(a2－1＋loga2)＝1＋a＋loga2＝a，可得loga2＝－1，求得[拓展提升]运用定义法判定函数的单调性是一种常见方法，解题时应注意：一强调x1、x2在相应区间的任意性；二分析清楚变形后式子的符号；运用导数法判定函数的单调性也是一种常见方法，此方法显得简便些．[例2]设a>0，且a≠1，试求函数y＝loga(4＋3x－x2)的单调区间．[答案]B已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．[2，＋∞)解析：a是对数的底数，所以a>0，设g(x)＝2－ax，则g(x)在区间[0,1]上是减函数．设u＝2－ax，由于y＝loga(2－ax)是区间[0,1]上的减函数．所以y＝logau是增函数．故a>1.还要使2－ax>0在区间[0,1]上总成立，即g(x)>0在区间[0,1]上总成立，由于g(x)是减函数，x＝1时g(x)有最小值．只要g(1)>0，即2－a>0，得a<2，∴1<a<2.答案：B[分析](1)的求解是容易的；对于(2)，应利用函数单调性的定义来证明，其中应注意f(x·y)＝f(x)＋f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当配凑，将所给不等式化为f[g(x)]≥f(a)的形式，再利用f(x)的单调性来求解．[拓展提升]抽象函数不等式问题的求解思路是根据函数的单调性脱去符号“f”，转化为关于x的显型不等式．1．根据定义证明函数单调性的一般步骤是：(1)设x1，x2是给定区间内的任意两个值，且x1<x2；(2)作差f(x2)－f(x1)，并将此差式变形(要注意变形的程度)；(3)判断f(x2)－f(x1)的正负(要注意说理的充分性)以确定其增减性．函数的单调性可以借助函数的导数来确定．一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间上是增函数，如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间上是减函数．2.在理解函数单调性的定义时，值得注意下列三点：(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性，(2)单调性是函数在某一区间上的“部分整体性”，因此定义中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值替代；但若需说明函数不具有单调性，有时可举特殊值说明。(3)由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数且f(x1)<f(x2)⇒x1<x2，(x1>x2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”．4．在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程．