教材数列的递推关系（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）数列教材：数列的递推关系目的：要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列递推公式的意义，会根据给出的递推公式写出数列的前n项。过程：复习：数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）二、例一：若记数列的前n项之和为Sn试证明：证：显然时，当即时∴∴注意：1此法可作为常用公式2当时满足时，则例二：已知数列的前n项和为①②求数列的通项公式。解：1．当时，当时，经检验时也适合2．当时，当时，∴三、递推公式（见课本P112-113略）以上一教时钢管的例子从另一个角度，可以：“递推公式”定义：已知数列的第一项，且任一项与它的前一项（或前项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式。例三（P113例三）略例四已知，求．解一：可以写出：，，，，……观察可得：解二：由题设：∴∴例五已知，求．解一：观察可得：解二：由∴即∴∴四、小结：由数列和求通项递推公式（简单阶差、阶商法）五、作业：P114习题3．13、4《课课练》P116-118课时2中例题推荐1、2课时练习6、7、8由递推关系求通项公式的数列问题通过递推关系求出数列的通项公式，是解决数列问题时经常遇到的，这类问题的处理方法是向特殊数列转化，利用特殊数列的性质求数列的通项公式，下面提供几类有规律的变形。递推关系行如：的数列利用迭加的方法直接求解或利用迭加，迭代法得，（）然后求解。数列中，且，其中，求数列的通项公式。解：=－=同理－=+，，（－）+（－）++=（）+[]从而－=易得到的通项公式：n为奇数时：n为偶数时：递推关系形如：的数列利用迭乘或迭代法可得：例2数列的前n项的和为，且1，，求数列的通项公式解：由知又时则由知各项都不等于0，得：各项相乘得：又时适合上式，所以数列的通项公式递推关系形如：（为常数且）的数列可化为=求出的表达式，再求例3数列中，当时其前项和满足，求数列的通项公式。解：当时，即2=数列是以2为公差，为首项的等差数列，=当时==这种类型还有如：可采用取倒数方法转化成为形式利用后面的第四类方法解决；又如已知数列中且，求数列的通项公式可采用两边取对数方法即则数列是以为首项，为公比的等比数列。递推关系形如：（为p,q为常数且）的数列（Ⅰ）可化为，利用等比数列求出的表达式，进而求出（Ⅱ）可由得两式相减可得：，利用成等比数列求出，再利用迭代或迭加求出（Ⅲ）利用迭代法可得：求和得例4数列中，求数列解：由题设可得，又是以2为首项，以2为公比的等比数列。注：该题还可以转化为（Ⅱ）或（Ⅲ）求。递推数列形如：的数列（为常数且）（Ⅰ）可化为，利用第四种类型求出后解出；（Ⅱ）也可利用迭代：由上个等式相加得：++++=++例5数列中，，求数列的通项公式。解：依题设两边同除以可得：即由类型四可得：令则且是以为首项，以为公比的等比数列，递推数列形如：的数列可变形为就是则可从，解得于是是公比为的等比数列，这样就转化为类型五。数列中，，求数列的通项公式。解：在两边减去得是以为首项，以为公比的等比数列，令上式，再把个等式累加得:==征方程法求解递推关系中的数列通项湖北省竹溪县第一高级中学徐…wybylw毕业论文2021-9-191:48:18考虑一个简单的线性递推问题.设已知数列的项满足其中求这个数列的通项公式.采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.证明：因为由特征方程得作换元则当时，，数列是以为公比的等比数列，故当时，，为0数列，故（证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.例1已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是例2已知数列满足递推关系：其中为虚数单位.当取何值时，数列是常数数列？解：作方程则要使为常数，即则必须现在考虑一个分式递推问题（*）.例3已知数列满足性质：对于且求的通项公式.将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.定理2如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特