星辰教育培训中心--幂函数及其性质专题一、幂函数的定义一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.二、函数的图像和性质（1）（2）（3）（4）（5）用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出：定义域奇偶性在第Ⅰ象限单调增减性定点（公共点）3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.三．两类基本函数的归纳比较：①定义对数函数的定义：一般地，我们把函数（＞0且≠1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．幂函数的定义：一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.②性质对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R；过点（1，0），即当=1，=0；在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）＞0时，幂函数的图象都通过原点，在[0，+∞]上，、、、是增函数，在（0，+∞）上，是减函数。【例题选讲】例1．已知函数，当为何值时，：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）或（2）（3）（4）（5）变式训练：已知函数，当为何值时，在第一象限内它的图像是上升曲线。简解：解得：例2．比较大小：（1）（2）（3）（4）例3．已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．解：∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，∴，∴；∵，∴，又函数图象关于原点对称，∴是奇数，∴或．例4、设函数f（x）＝x3，（1）求它的反函数；（2）分别求出f－1（x）＝f（x），f－1（x）＞f（x），f－1（x）＜f（x）的实数x的范围．解析：（1）由y＝x3两边同时开三次方得x＝，∴f－1（x）＝x．（2）∵函数f（x）＝x3和f－1（x）＝x的图象都经过点（0，0）和（1，1）．∴f－1（x）＝f（x）时，x＝±1及0；在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知f－1（x）＞f（x）时，x＜－1或0＜x＜1；f－1（x）＜f（x）时，x＞1或－1＜x＜0．点评：本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦．例5、求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．解析：设t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．当t＝－1时，ymin＝3．∴函数y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）．【同步练习】1.下列函数中不是幂函数的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2.下列函数在上为减函数的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3.下列幂函数中定义域为的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4．函数y＝（x2－2x）的定义域是（）A．{x|x≠0或x≠2}B．（－∞，0）（2，＋∞）C．（－∞，0）］［2，＋∞］D．（0，2）5．函数y＝（1－x2）的值域是（）A．［0，＋∞］B．（0，1）C．（0，1）D．［0，1］6．函数y＝的单调递减区间为（）A．（－∞，1）B．（－∞，0）C．［0，＋∞］D．（－∞，＋∞）7．若a＜a，则a的取值范围是（）A．a≥1B．a＞0C．1＞a＞0D．1≥a≥08．函数y＝的定义域是。9．函数y＝在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是________．10、讨论函数y＝的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．思路：函数y＝是幂函数．（1）要使y＝＝有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R．（2）∵xR，∴x2≥0．∴y≥0．（3）f（－x）＝＝＝f（x），∴函数y＝是偶函数；（4）∵n＝＞0，∴幂函数y＝在［0，＋］上单调递增．由于幂函数y＝是偶函数，∴幂函数y＝在（－，0）上单调递减．（5）其图象如下图所示．11、比较下列各组中两个数的大小：（1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），．解析：（1）考查幂函数y＝的单调性，在第一象限内函数单调递增，∵1.5＜1.7，∴＜，（2）考查幂函数y＝的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，∵＝，＝，又＞，∴＞．