(每日一练)通用版高中数学必修一函数及其性质必考知识点归纳单选题(푥−3)01、函数푓(푥)=定义域为（）√푥−2A．[2，+∞)B．(2，+∞)C．(2，3)∪(3，+∞)D．[2，3)∪(3，+∞)答案：C解析：要使函数有意义，分母不为零，底数不为零且偶次方根被开方数大于等于零.(푥−3)0要使函数푓(푥)=有意义，√푥−2푥−3≠0则{，解得푥>2且푥≠3，푥−2>0所以푓(푥)的定义域为(2,3)∪(3,+∞).故选：C.小提示：具体函数定义域的常见类型：（1）分式型函数，分母不为零；（2）无理型函数，偶次方根被开方数大于等于零；（3）对数型函数，真数大于零；（4）正切型函数，角的终边不能落在y轴上；1（5）实际问题中的函数，要具有实际意义.2、函数푓(푥)=−푥2+2(1−푚)푥+3在区间(−3,4]上单调递增，则푚的取值范围是有（）A．[−3,+∞)B．[3,+∞)C．(−∞,5]D．(−∞,−3]答案：D解析：首先求出函数的对称轴，根据二次函数的性质得到不等式，解得即可；解：因为函数푓(푥)=−푥2+2(1−푚)푥+3，开口向下，对称轴为푥=1−푚，依题意1−푚≥4，解得푚≤−3，即푚∈(−∞,−3]故选：D1푥3、已知函数푓(푥)=lg푥−(),푓(푚)=1，且0<푝<푚<푛，则（）2A．푓(푛)<1且푓(푝)>1B．푓(푛)>1且푓(푝)>1C．푓(푛)>1且푓(푝)<1D．푓(푛)<1且푓(푝)<1答案：C解析：首先利用导数判断函数的单调性，再根据单调性，比较函数值.푥푥′11111∵푓(푥)=−()⋅ln=+()ln2，푥ln1022푥ln102当푥>0时，푓′(푥)>0，函数푓(푥)单调递增，∵0<푝<푚<푛，且푓(푚)=1，∴푓(푝)<푓(푚)=1<푓(푛).故选：C解答题24、（1）已知푓(푥)是一次函数，且满足3푓(푥+1)−푓(푥)=2푥+9，求푓(푥)的解析式.（2）已知푓(√푥+1)=푥+1，求푓(푥)的解析式，答案：（1）푓(푥)=푥+3；（2）푓(푥)=푥2−2푥+2(푥≥1).解析：푘=1（1）设푓(푥)=푘푥+푏，带入已知条件，对应系数相等，求出{即可；푏=3（2）换元法求函数的解析式.（1）因为푓(푥)是一次函数，所以设푓(푥)=푘푥+푏，又因为3푓(푥+1)−푓(푥)=2푥+9，所以3[푘(푥+1)+푏]−2푘=2푘=1(푘푥+푏)=2푥+9，整理得2푘푥+3푘+2푏=2푥+9，故{，解得{，所以푓(푥)=푥+3;3푘+2푏=9푏=3（2）令√푥+1=푡(푡≥1)，则푥=(푡−1)2，所以푓(푡)=(푡−1)2+1=푡2−2푡+2(푡≥1)，即푓(푥)=푥2−2푥+2(푥≥1).45、已知函数푓(푥)=푥+.푥(1)用函数单调性的定义证明푓(푥)在区间[2,+∞)上为增函数;(2)解不等式푓(푥2−2푥+4)≤푓(7).答案：(1)证明见解析;(2)[−1,3].解析：（1）通过计算푓(푥1)−푓(푥2)<0，证得푓(푥)在区间[2,+∞)上为增函数.（2）利用푓(푥)的单调性，化简不等式，由此求得不等式的解集.444(푥1−푥2)（1）푓(푥)的定义域为{푥|푥≠0}.任取0<푥1<푥2，则푓(푥1)−푓(푥2)=푥1+−푥2−=푥1−푥2−=푥1푥2푥1푥24(푥1−푥2)(푥1푥2−4)(푥1−푥2)(1−)=.푥1푥2푥1푥2当푥1,푥2∈[2,+∞)时，푥1푥2−4>0，而푥1−푥2<0,푥1푥2>0，所以푓(푥1)−푓(푥2)<0，所以푓(푥)在区间[2,+∞)上为增函数.3（2）由于푥2−2푥+4=(푥−1)2+3≥3，且由（1）知푓(푥)在区间[2,+∞)上为增函数，所以由푓(푥2−2푥+4)≤푓(7)可得푥2−2푥+4≤7，即(푥−3)(푥+1)≤0，解得푥∈[−1,3].小提示：本小题主要考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，属于基础题.4