课时提升练(二十六)数列的概念及简单表示法一、选择题1．以下数列中，既是递增数列又是无量数列的是()A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)【解析】A，B，C都是无量数列，但A，B是递减数列，C正确．【答案】C2.在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为()A．30B．31C．32D．33【解析】a5＝2a4＋1＝2(2a3＋1)＋1＝22a3＋2＋1＝23a2＋22＋2＋1＝24a1＋23＋22＋2＋1＝31.【答案】B3．设f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝()A.eq\f(1,3n＋2)B.eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)C.eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2)D.eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2)【解析】f(n＋1)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)＋eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2)，f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)，∴f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2).【答案】D4．如图5­1­1，关于星星的图案中星星的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是()图5­1­1A．an＝n2－n＋1B．an＝eq\f(nn－1,2)C．an＝eq\f(nn＋1,2)D．an＝eq\f(nn＋2,2)【解析】观察所给图案知，an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).【答案】C5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2等于()A．4B．2C．1D．－2【解析】∵Sn＝2(an－1)，∴S1＝a1＝2(a1－1)，∴a1＝2，S2＝2(a2－1)＝a1＋a2，∴a2＝4.【答案】A6．已知数列1，eq\r(3)，eq\r(5)，eq\r(7)，…，eq\r(2n－1)，则3eq\r(5)是它的()A．第22项B．第23项C．第24项D．第28项【解析】观察已知数列的通项公式为an＝eq\r(2n－1)，令an＝eq\r(2n－1)＝3eq\r(5)＝eq\r(45)，得n＝23.【答案】B7．设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－eq\f(1,an)，记数列{an}的前n项之积为Tn，则T2016＝()A．－eq\f(1,2)B．－1C.eq\f(1,2)D．1【解析】由递推公式得a2＝eq\f(1,2)，a3＝－1，a4＝2，…，故数列{an}是周期为3的周期数列，从而T2016＝(－1)672＝1.【答案】D8．已知an＝eq\f(n,n2＋156)(n∈N*)，则数列{an}的最大项是()A．第12项B．第13项C．第12或13项D．不存在【解析】an＝eq\f(n,n2＋156)＝eq\f(1,n＋\f(156,n))≤eq\f(1,2\r(156))，又∵等号成立的条件是n＝eq\f(156,n)即n2＝156，明显由n∈N*知等号不能成立，又∵n＝12时，an＝eq\f(12,144＋156)＝eq\f(1,25)；n＝13时，an＝eq\f(13,169＋156)＝eq\f(1,25)，∴选C.【答案】C9．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，则a10＝()A．1024B．1023C．2048D．2047【解析】∵an＋1＝an＋2n，∴an－an－1＝2n－1(n≥2)，∴a10＝(a10－a9)＋(a9－a8)＋…＋(a2－a1)＋a1＝29＋28＋…＋2＋1＝210－1＝1023.【答案】B10．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是()A．2n－1B.