PAGEPAGE6课时提升练(十四)导数在研讨函数中的运用一、选择题1．如图2­11­2是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则上面判断正确的是()图2­11­2A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在(1,3)上f(x)是减函数C．在(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝4时，f(x)取极大值【解析】由题图知，当x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(4,5)上f(x)是增函数，C正确，其他选项均不对．【答案】C2．设函数f′(x)＝x2＋3x－4，则y＝f(x＋1)的单调减区间为()A．(－4,1)B．(－5,0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，＋∞))【解析】由f′(x)＝x2＋3x－4知，f(x)在(－4,1)上单调递减，故f(x＋1)的单调减区间为(－5,0)．【答案】B3．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则以下图象不可能为y＝f(x)图象的是()【解析】由于[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)·ex＝ex[f′(x)＋f(x)]，且x＝－1是函数f(x)ex的一个极值点，所以f′(－1)＋f(－1)＝0.在选项D中，f(－1)>0，f′(－1)>0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.【答案】D4．对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－a)f′(x)≥0，则必有()A．f(x)≥f(a)B．f(x)≤f(a)C．f(x)＞f(a)D．f(x)＜f(a)【解析】由(x－a)f′(x)≥0知，当x＞a时，f′(x)≥0；当x＜a时，f′(x)≤0.∴当x＝a时，函数f(x)取得最小值，则f(x)≥f(a)．【答案】A5．若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，则实数a的取值范围是()A．a≤2B．5≤a≤7C．4≤a≤6D．a≤5或a≥7【解析】由于f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)ax2＋(a－1)x＋1，所以f′(x)＝x2－ax＋a－1，由题意知当1<x<4时，f′(x)≤0恒成立，即x2－ax＋a－1≤0在(1,4)上恒成立，∴a(x－1)≥x2－1，即a≥x＋1(1<x<4)，所以a≥5.同理a≤7.【答案】B6．若函数f(x)＝eq\f(x,x2＋a)(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为eq\f(\r(3),3)，则a的值为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\r(3)C.eq\r(3)＋1D.eq\r(3)－1【解析】f′(x)＝eq\f(x2＋a－2x2,x2＋a2)＝eq\f(a－x2,x2＋a2).令f′(x)＝0，得x＝eq\r(a)或x＝－eq\r(a)(舍)，①若eq\r(a)≤1时，即0＜a≤1时，在[1，＋∞)上f′(x)＜0，f(x)max＝f(1)＝eq\f(1,1＋a)＝eq\f(\r(3),3).解得a＝eq\r(3)－1，符合题意．②若eq\r(a)＞1，即a＞1，在[1，eq\r(a)]上f′(x)＞0，在[eq\r(a)，＋∞)上f′(x)＜0，∴f(x)max＝f(eq\r(a))＝eq\f(\r(a),2a)＝eq\f(\r(3),3)，解得a＝eq\f(3,4)＜1，不符合题意，综上知，a＝eq\r(3)－1.【答案】D二、填空题7．已知函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是________．【解析】f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，由题意，明显a>0，∴f′(x)＝3(x＋eq\r(a))(x－eq\r(a))，故有0<eq\r(a)<1，∴0<a<1.【答案】(0,1)8．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为________．【解析】∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3×22＋6a×2＋3b＝0，,3×12＋6a×1＋3b＝－3，))∴a＝－1，b＝0，∴f′(x)＝3x2