课时提升练(五十三)几何概型一、选择题1．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事情“sinx≥cosx”发生的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D．1【解析】∵sinx≥cosx，x∈[0，π]，∴eq\f(π,4)≤x≤π，∴事情“sinx≥cosx”发生的概率为eq\f(π－\f(π,4),π－0)＝eq\f(3,4).【答案】C2．(文)(2014·长沙联考)点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|PA|≤1的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(π,4)D．π【解析】如图，满足|PA|≤1的点P在如图所示暗影部分运动，则动点P到顶点A的距离|PA|≤1的概率为eq\f(S暗影,S正方形)＝eq\f(\f(1,4)×π×12,1×1)＝eq\f(π,4).【答案】C3．如图10­3­8所示，墙上挂有一边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，eq\f(a,2)为半径的扇形，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中暗影部分的概率是()图10­3­8A．1－eq\f(π,4)B.eq\f(π,4)C．1－eq\f(π,8)D．与a的取值有关【解析】由题意知，暗影部分的面积为a2－4×eq\f(1,4)×πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(π,4)))a2，故概率为1－eq\f(π,4).【答案】A4．(2014·阜阳模拟)一艘轮船从O点的正东方向10km处出发，沿直线向O点的正北方向10km处的港口航行，某台风中心在点O，距中心不超过rkm的地位都会受其影响，且r是区间[5,10]内的一个随机数，则轮船在航行途中会蒙受台风影响的概率是()A.eq\f(\r(2)－1,2)B．1－eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)－1D．2－eq\r(2)【解析】以O为圆心，r为半径作圆，易知当r＞5eq\r(2)时，轮船会蒙受台风影响，所以P＝eq\f(10－5\r(2),10－5)＝eq\f(10－5\r(2),5)＝2－eq\r(2).【答案】D5．如图10­3­9，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自暗影部分的概率是()图10­3­9A．1－eq\f(2,π)B.eq\f(1,2)－eq\f(1,π)C.eq\f(2,π)D.eq\f(1,π)【解析】法一设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OA＝OB＝2，则OD＝DA＝DC＝1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝eq\f(π,4)＋eq\f(1,2)×1×1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,2)×1×1))＝1，所以全体图形中空白部分面积S2＝2.又由于S扇形OAB＝eq\f(1,4)×π×22＝π，所以暗影部分面积为S3＝π－2.所以P＝eq\f(π－2,π)＝1－eq\f(2,π).法二设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，令OA＝2.如图，连接AB，由题意知C∈AB且S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC，所以S空白＝S△OAB＝eq\f(1,2)×2×2＝2.又由于S扇形OAB＝eq\f(1,4)×π×22＝π，所以S暗影＝π－2.所以P＝eq\f(S暗影,S扇形OAB)＝eq\f(π－2,π)＝1－eq\f(2,π).【答案】A6．(2014·嘉兴模拟)在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为()A.eq\f(7,8)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则实验的全部结果构成的区域为矩形ABCD及其内部．要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，则必须有Δ＝4a2＋4b2－4π≥0，即a2＋b2≥π，其表示的区域为图中暗影部分．故所求概率P＝eq\f(S暗影,S矩形)＝eq\f