PAGEPAGE6课时提升练(五十六)直接证明与间接证明一、选择题1．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为()A．a，b，c中最少有两个偶数B．a，b，c中最少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数【解析】“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为“a，b，c中最少有两个偶数或都是奇数”．【答案】B2．若P＝eq\r(a)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)，则P、Q的大小关系是()A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值确定【解析】∵P2＝2a＋7＋2eq\r(a)eq\r(a＋7)＝2a＋7＋2eq\r(a2＋7a)，Q2＝2a＋7＋2eq\r(a＋3)eq\r(a＋4)＝2a＋7＋2eq\r(a2＋7a＋12)，∴P2＜Q2，∴P＜Q.【答案】C3．(2014·张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证eq\r(b2－ac)＜eq\r(3)a”索的因应是()A．a－b＞0B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0【解析】由eq\r(b2－ac)＜eq\r(3)a⇐b2－ac＜3a2⇐b2＋a(a＋b)＜3a2⇐b2＋a2＋ab＜3a2⇐b2＋ab＜2a2⇐b2＋ab－2a2＜0⇐(a－b)(a－c)＞0.【答案】C4．(2014·上海模拟)“a＝eq\f(1,4)”是“对任意正数x，均有x＋eq\f(a,x)≥1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当a＝eq\f(1,4)时，x＋eq\f(a,x)＝x＋eq\f(1,4x)≥2eq\r(x·\f(1,4x))＝2×eq\f(1,2)＝1，当且仅当x＝eq\f(1,2)时等号成立．反之，不成立．【答案】A5．(2014·成都模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a，b是正实数，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，则A、B、C的大小关系为()A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A【解析】∵eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)，又f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上是减函数，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))≤f(eq\r(ab))≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，即A≤B≤C.【答案】A6．(2014·北京高考)先生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若先生甲的语文、数学成绩都不低于先生乙，且其中最少有一门成绩高于乙，则称“先生甲比先生乙成绩好”．如果一组先生中没有哪位先生比另一位先生成绩好，并且不存在语文成绩相反、数学成绩也相反的两位先生，那么这组先生最多有()A．2人B．3人C．4人D．5人【解析】利用反证法解决理论成绩．假设满足条件的先生有4位及4位以上，设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个人数学成绩不一样，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的先生不能超过3人．当有3位先生时，用A，B，C表示“优秀”“合格”“不合格”，则满足题意的有AC，CA，BB，所以最多有3人．【答案】B二、填空题7．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥________.【解析】∵a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,c)＋eq\