1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积一、学习目标1.通过曲边梯形的面积，了解定积分的实际背景；初步掌握求曲边梯形面积的步骤——四步曲通过曲边梯形的面积，了解定积分的实际背景；初步掌握求曲边梯形面积的步骤——四步曲——2.了解“以直代曲”“逼近”的思想方法；了解“以直代曲”逼近”的思想方法；、二、学习过程问题：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。有的是规则的平面图形，但现实生活中问题更多的是不规则的平面图形。对于不规则的图形我们该如何求面积？（一）连续函数与曲边梯形问题1：函数y=f(x)_____________________________________________________，那么我们称函数y=f(x)为在区间I上的连续函数．问题2：如图，类似于一个梯形，但有一边是曲边y=f(x)的一段，我们把由直线A．1nB．2nC．3nD．4n练习2：在区间[1,8]中插入6个等分点，则所分的小区间长度?x=_____，第3个小区间是__________．i?1i,]上，函数f(x)=x2的值f(x)≈______，曲边梯形在这个小区间的面积问题5：在区间[nn?Si≈?Si'=_____________________，即小矩形的面积?Si'近似地代替?Si，即以直代曲．第二步近似代替第三步求和问题6：求图1.5－4中阴影部分面积Sn（写出过程）．nn?i?1??i?1?1Sn=∑?Si′=∑f????x=∑???n?n?i=1i=1i=1?n?n2x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为____________________==从而得到S的近似值S≈Sn=问题7：12+22+32+?+n2=__________．练习3：用符号“∑”表示下列运算：==y=f(x)y=f(x)baba如何计算这个曲边梯形的面积？要计算上述图形的面积，可将区间[a,b]分成许多小区间，进而把________拆分为一些小____________，对每个小_____________“以直线代曲线”即用__________的面积近似代替____________的面积，得到每个__________面积的近似值，对这些近似值求和，就得到____________面积的近似值.如图可以想象，随着拆分越来越细，近似程度就会越来越好.问题3：画出由y=x2与直线x=1,y=0围成的曲边梯形．（二）求曲边梯形面积的步骤——四步曲第一步分割在由y=x2与直线x=1,y=0所围成的曲边梯形中：问题4：把区间[0,1]等间隔地插入n?1个点，将它等分为____个小区间，i个小区间为________，则第其区间长度为?x=___________，当n→+∞时，?x→___．练习1：把区间[2,5]n等分，所得每个小区间的长度?x=（）1（1）1+2+3+?+n=___________．（2）12+32+52+?+(2n?1)2=____________．第四步取极限——逼近的思想问题8：从图中，当n→+∞,Sn→S，即S=__________＝_______________________＝_______________．问题9：把区间[0,1]不进行等分可以吗？分割的目的是什么？问题10：若函数f(x)在区间[i?1iii,](i=1,2,?,n)上的值近似地等于右端点处的函数值f()，nnnn1i?1i用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是吗？取任意ξi∈[,]处的函数值3nnf(ξi)作为近似值，情况又怎么样？例3.求由直线x=0,x=1,y=0和y=x(x?1)围成的图形面积提示：12+22+32+…+n2=解：1n(n+1)(2n+1).6（三）典型例题例1：求由y=x2与直线x=1,y=0围成的曲边梯形的面积．解：课后练习与提高1、把区间[1,3]n等分,所得n个小区间,每个小区间的长度为(例2.在等分区间的情况下，写出f(x)=极限形式解：)1,x∈[0,1]及x轴所围成的曲边梯形的面积的和式的1+x21A.n2B.n3C.n1D.2n)2、把区间[a,b](a<b)n等分后,第i个小区间是(A.[i?1i,]nni?1i,a+]C.[a+nnB.[i?1i(b?a),(b?a)]nni?1iD.[a+(b?a),a+(b?a)]nn）3、在“近似替代”中，函数f(x)在区间[xi,xi+1]上的近似值（A.只能是左端点的函数值f(xi)B.只能是右端点的函数值f(xi+1)C.可以是该区间内的任一函数值f(ξi)(