PAGEPAGE22.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义（学案）一、温故知新在物理学上，一个物体遭到的力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，我们就说这个力对物体做了功，其普通关系是甚么？在数学上又是怎样理解呢？二、知识互动知识点一向量的数量积1.已知两个非零向量，，它们的夹角为，我们把叫做与的数量积（或内积），记作，即=．2.叫做向量在方向上（在方向上）的投影．3.的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积，或的长度与在方向上投影的乘积．【疑问点拨】（1）两个向量的数量积是一个实数，并且规定．（2）当为锐角时，；当为钝角时，；当时，．（3）向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一个向量在其上的投影值，投影是个数量，不是向量，当为直角的时分是零，当为钝角的时分是负值．知识点二数量积的性质若、是非零向量，是与方向相反的单位向量，是与的夹角，则1.．2.；3.若与同向，则=；若与反向，则=；特别地：=或=．4.=．5.对任意两个向量，，有，当且仅当时等号成立．【疑问点拨】（1）利用性质（2）可以解决有关两非零向量垂直的成绩；由，则；反之，由，则．（2）利用或可进行向量的数量积运算及向量与实数的转换．知识点三数量积的性质1.(交换律)．2.=．3.．【想一想】向量数量积的运算律与多项式的运算律有何不同？三、典例探求例1已知与的夹角，求．例2我们知道，对任意的实数，恒有．对任意向量，，能否也有上面类似的结论？（1），(2).例3已知与的夹角，求．例4.已知与不共线.为甚么值，向量与互相垂直？四、当堂检测1.已知向量与满足且2，则与的夹角为（）A.B.C.D.2．四边形ABCD中，则四边形ABCD是（）A.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形3．设、、是单位向量，且，则的最小值（）A.B.C.D.4．已知是平面内的单位向量，若向量满足，则的取值范围是．