第7章非线性控制系统分析在实际控制系统中完全线性是不存在的，任何系统都不同程度带有非线性的性质。利用第2章所讲的“小偏差理论”，多数的控制系统在一定工作范围内可以近似为线性系统来研究，实践证明，这在解决多数控制系统的设计计算时是可行的。但是，对另外一些系统，由于非线性严重，以致无论在多么小的工作范围内，线性化都是不可能的，这些非线性系统称为“本质非线性”。具有本质非线性的系统，必须按照非线性系统的理论来分析、研究。本章非线性系统研究的主要内容是稳定性、自激振荡和利用非线性特性改善系统性能。常用的方法有相平面法、描述函数法和计算机仿真等。7.1非线性系统概述含有非线性元件的系统，就是非线性系统。非线性系统的研究对象，一般都是针对不能采用小偏差线性化方法进行处理的本质非线性系统。由于非线性概括了所有除线性以外的数学关系，包含的范围非常广泛，因此，目前还没有统一的方法来分析和综合。线性系统满足叠加原理，系统分析的一般方法就是先将信号分解为基本信号的叠加，求得基本信号作用下系统的响应，最后将基本信号的响应叠加起来即可得任意输入信号作用下系统的响应。例如，在时域中，可以将任意信号分解为无穷多个冲激信号的叠加，因而系统的响应也为无穷多个脉冲响应的叠加，用数学形式来表达即为卷积；由卷积出发，可以得到所有变换域(频域、复域、z域)的系统函数及系统函数的物理意义。非线性系统不满足叠加原理，因此不能用脉冲响应或阶跃响应来表征系统的动态特性，也就不能用系统函数的概念来分析非线性系统。作为系统函数的一种，频率特性法原则上也就不能用来描述非线性系统的动态性质。非线性系统的数学模型在多数情况下可以用n阶非线性常微分方程表达，其形式为ygyyyuuu(nnm)(1)()=[,,,−,,,,](7.1)其中，g()⋅为非线性函数，u为输入函数u(t)的简写，y为输出函数y(t)的简写。引入中间变量=xy1=xy2=(n−1)xyn第7章非线性控制系统分析·241·则式(7.1)可以表示为n元的方程组⎧xx=⎪12⎪xx=⎪23⎨(7.2)⎪=⎪xxnn−1⎪=(m)⎩xgxxxuuunn[12,,,,,,,]定义n维矢量函数x=[,xx,,x]T12n=(m)Tft(,,)xu[xx12,,,xnn,(gxx12,,,x,,,uu,u)]则式(7.1)或式(7.2)就能写成一个一阶矢量微分方程，即xx=ft[,,u](7.3)这就是非线性系统的状态变量描述(状态方程)，xt()即为n维状态变量。为了求解非线性系统的时域响应，必须求出式(7.3)的解，有关非线性微分方程解的性质(存在性与唯一性等)及求解方法本章将不加以讨论。借助于计算机，利用数值求解的算法(如龙格-库塔法)可以求得非线性系统的时域响应，本章最后将简单介绍基于Simulink的非线性系统的分析。在通常情况下，可以将构成系统的环节分为线性与非线性两部分。线性部分用传递函数或脉冲响应来表示，非线性部分用方框图的形式来表示。在多数情况下，关心的是非线性部分的输入与输出的关系，方框内用非线性增益或描述函数或静特性(稳态时的输入输出关系)作为非线性部分的数学模型，如图7.2(a)所示。7.1.1常见非线性特性在实际系统中常见的非线性特性有饱和、死区、间隙、摩擦和继电器特性等。本节从物理概念出发，对上述非线性特性进行定性的分析和简单说明。虽然这种方式不够严谨，但所得结论对工程实践具有一定的参考价值。1.饱和许多元件都具有饱和特性。在铁磁元件及各种放大器中都存在，其特点是当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输入信号变化，而是保持某一常值如图7.1(b)所示。在实际运用中，为简化问题，常采用简单的折线代替实际的非线性曲线，将非线性特性典型化，由此产生的误差一般处于工程所允许的范围内。理想的饱和特性如图7.1(a)所示，图中，为输入信号，为输出信号。当>时，输出饱和。x1x2||xs1设=x2fx()1(7.4)将非线性特性视为一个环节，按照线性系统比例环节的描述，定义非线性环节输入与输出的比值为等效增益xfx()k==21(7.5)x11x由此，可将非线性特性看作为一个变增益的比例环节。··241·242·自动控制原理图7.1理想与实际饱和特性从饱和特性曲线上可以看出，其等效增益随着输入信号的加大逐渐减小，因此，饱和特性的存在，使系统的开环增益有所下降，故对动态响应的平稳性是有利的。另外，由于饱和特性在大信号时的等效增益很低，故带饱和特性的控制系统，一般在大起始偏