数学建模试题及答案优秀名师资料（完整版）资料(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）2004数学建模试题及答案1．设某产品的供给函数与需求函数皆为线性函数：,(p)f(p),(p),3p，4,f(p),,kp，9其中为商品单价，试推导满足什么条件使市场稳定。pk解：设Pn表示t=n时的市场价格，由供求平衡可知：,(p),f(p)2分n,1n3p，4,,kp，9n,1n35即：,,，ppnn,1kk3355,？(),,,，，ppnn,2kkkk经递推有：6分n,1nn335()(),,,，,,0p,n,1kkkp表示初始时的市场价格03,,1时,即0,k,3,则p收敛,即市场稳定若。10分当n??时:nk2．某植物园的植物基因型为AA、Aa、aa，人们计划用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？依题意设未杂交时aa、Aa、AA的分布分别为a,b,c，杂交n代后分别为anbn000cn(向为白分手)由遗传学原理有：,aabc,,,，,，,000nn,1n,1n,1,1,4分babc,，，,0,nn,1n,1n,12,1,cabc,,，，0nn,1n,1n,1,,2x,M,Xnn,1，，,,000,,1式中M,10,,2,,1,,01,,，2，nX,M,X递推可得：n0对M矩阵进行相似对角化后可得：000，，,,1,,00,,2,,001，，其相似对角阵100，，,,,1p,,2,10,p,,,,111，，从而,nn1Mpp,,,100100，，，，1，，,,,,0n,,2,10(),2101,,,,,,2，，,,,,111111，，，，，，,000,,,11nn,1n,1M()()0,,,22,,11n,1n,1,,1()1()1,,,,22，，a,0n11n,n,11b,a()，b()，0n008分2211n,n,11c,c，(1,()),a，(1,()),bn00022n,,a,0,b,0,c,1当时，。10分nnn3．试建立人口Logistic(逻辑)模型，并说明模型中何参数为自然增长率，为什么？解：人口净增长率与人口极限以及目前人口均相关。人口量的极限为M，当前人口数量为N（t），r为比例系数。建立模型：dN(t)N(t),r,(1,),N(t)dtMN|,N4分t,00求解得到Nm6分N(t),N,rtm1，(,1)eN0N(t)注意到当时，并说明r即为自然增长率。10分N(t),Mr,(1,),rM4．1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后，美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。后来，DDT被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT进一步杀死介壳虫。谁料，DDT同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。解：依据题意，设介壳虫的数量为x(t)，澳洲瓢虫的数量为y(t),则有数模方程组：dx,,ax,bxy,dt（1）式中abcf均大于零。4分,dy,,,cy，f，ydt,dxax,bxy解方程组（1）,dy,cy，f，y(a,by)dyfx,c,dx得：yxalny，clnx,fx，by，kacfx，by,y,x,e，kac,yx,,k（3）fcby,ee式（3）给出一族封闭曲线，显然x(t)、y(t)即为以下为周期（T>0）的周期函数，由于调查的虫子的数量为一个周期内的均值T,11yx,(，c)dt则有,0TfyT,11xy,,(a,)dt6分,0Tbxccx=+[lny(T)lny(0)]=ffaay=+[ln×(T)ln×(0)]=bb,,x(t),,y(t)当使用杀虫剂DDT后，设杀死介壳虫，，澳洲瓢虫dx,,ax,,x,bxy,(a,,)x,bxy,dt则有模型为：,dy,,,cy,,y，fxy,,(c，,)y，fxydt,，,,,ca,,显然此时有：xyfb即介壳虫的数量增加，澳洲瓢虫的数量反而减小。10分5．根据水情资料，某地汛期出现平水水情的概率为0.9,出现高水水情的概率为0.05，出现洪水水情的概率为0.05。位于江边的某工地对其大型施工设备拟定三个处置方案：（1）运走，需支付运费15万元。（2）修堤坝保护，需支付修坝费5万元。（3）不作任何防范，不需任何支出。若采用方案（1），那么无论出现任何水情都不会遭受损失；若采用方案（2），则仅当发生洪水时，因堤坝冲垮而损失400万元的设备；若采用方案（3），那么当出现平水水位时不遭受损失，发生高水水位时损失部分设