数列知识小结编辑王光春（一）等差数列1、基本知识（1）定义：an+1－an=d(常数d为公差)（2）通项公式：①an=a1+(n－1)d②an=am+(n－m)d（3）前n项和公式：Sn==na1+d2、等差数列{an}的一些性质（1）对于任意正整数p,q,r,s,如果p+q=r+s，则有ap+aq=ar+as（2）对于任意正整数p,q,r,如果p+r=2q,则有ap+ar=2aq（3）（4）已知数列{bn}是等差数列，p、r是常数，则也是等差数列（5）、--、成等差数列（6）{an}是等差数列的充要条件是Sn=an2+bn，（7）{an}是等差数列的充要条件是（8），(9)3.的最值法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。法二：①“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和即当由可得达到最大值时的值．②“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。即当由可得达到最小值时的值．或求中正负分界项(二)等比数列1、基本知识（1）定义：=q(常数q为公比)（2）通项公式：①②（3）前n项和公式Sn=2、等比数列{an}的一些性质⑴对于任意正整数p、q、r、s，若p+q=r+s，则ap·aq=ar·as⑵对于任意正整数p、q、r，如果p+r=2q，则ap·ar=aq2⑶⑷数列是等比数列⑸已知{an}、{bn}是等比数列，则{anbn}也是等比数列⑹对于任意非零实数b,{}也是等比数列⑺如果an>0，则{logaan}是等差数列⑻数列{logaan}成等差数列，则an成等比数列⑼、………也是等比数列（三）求通项公式的常用方法观察归纳法已知数列的前几项或由递推式求出数列的前几项，由前几项的变化规律归纳出各项的变化规律，从而猜出通项公式。写出下列数列的一个通项公式（1）—1，0，—1，0，……（2）0.3，0.33，0.333，0.3333，……例2、设是首项为1的正项数列，且(n+1)，求它的通项公式。分析：2.叠加法已知a1，且是可求和数列）可用叠加法求通项。例3..分析：由已知得，··········将上面n-1个等式相加得，所以3.叠乘法已知a1，的形式可用叠乘法求通项。例4.在数列中，已知，求该数列的通项公式。分析：由已知得：QUOTE，,,…,,将上面n-1个等式相乘于是得到：4.利用例5.数列的前项和，求该数列的通项公式。分析：由得，5.构造法①若已知数列的递推公式是,通常设，即，由m(A—1)=B得m=,将问题转化为等比数列的问题，通过求此数列的通项进而求出.②例6.已知数列中，分析：设,即,于是m=3,所以数列是以6为首项以2为公比的等比数列，，从而。6公式法等差数列和等比数列可用其通项公式求通项。（四）数列求和的一般方法1.公式法等差数列的前n项和d等比数列的前n项和2.裂项求和例7.分析：和式中每一项均可拆成两项之差，,S=-)+-)+-)+···+-)+-)==3.错位求和若数列满足，其中是等差数列，是等比数列，则的前n项和可用错位相减法求得。例8.若数列的通项公式为，求此数列的前n项和(x。分析：=x+3+5+7+······+x+3+5+······+得：（1—x）Sn=x+2—当x时，a当x=1时，1+3+5+···+2n-14.倒序求和例9.在实数a、b之间插入n个实数，使这n+2个数顺次构成等差数列，求插入的这n个实数的和。分析：设这n+2个数为(1)(2)(1)+(2)得：2S=+···+=n所以S==5.分组求和例10.求数列1，1+，，···，1+，···+，···的前n项和。分析：当a=1时，·····+n=当a=所以（五）数列的单调性1.数列单调性的若>,则数列递增若<,则数列递减2.数列最大项、最小项的确定由确定的n就是数列的最大项由确定的n就是数列的最小项