2.基本不等式课后篇巩固探究A组1.以下结论正确的是()A.若3a+3b≥2,则a>0,b>0B.若≥2,则a>0,b>0C.若a>0,b>0,且a+b=4,则≤1D.若ab>0,则解析当a,b∈R时,则3a>0,3b>0,所以3a+3b≥2(当且仅当a=b时,等号成立),故选项A错误.要使≥2成立,只需>0,>0即可,这时候只需a,b同号,故选项B错误.当a>0,b>0,且a+b=4时,则.由于ab≤=4,所以≥1(当且仅当a=b=2时,等号成立),故选项C错误.当a>0,b>0时,a+b≥2,所以.而当a<0,b<0时,明显有,所以当ab>0时,必然有(当且仅当a=b,且a,b>0时,等号成立),故选项D正确.答案D2.若a<1,则a+的最大值是()A.3B.aC.-1D.解析由于a<1,所以a-1<0,所以a+=a-1++1≤-2+1=-1,当且仅当1-a=,即a=0时,取最大值-1,故选C.答案C3.(2017全国模拟)已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则的最小值是()A.2B.2C.4D.2解析∵lg2x+lg8y=lg2,∴lg(2x·8y)=lg2,∴2x+3y=2,∴x+3y=1.∵x>0,y>0,∴=(x+3y)=2+≥2+2=4,当且仅当x=3y=时,等号成立.故选C.答案C4.函数f(x)=x+-1的值域是()A.(-∞,-3]∪[5,+∞)B.[3,+∞)C.(-∞,-5]∪[3,+∞)D.(-∞,-4]∪[4,+∞)解析当x>0时,x+-1≥2-1=3(当且仅当x=2时,等号成立);当x<0时,x+-1=--1≤-2-1=-5(当且仅当x=-2时,等号成立),故函数f(x)的值域为(-∞,-5]∪[3,+∞).答案C5.若正数x,y满意x+4y=4,则xy的最大值为.解析由基本不等式可得x+4y≥2=4(当且仅当x=4y时,等号成立),又x+4y=4,所以4≤4,即xy≤1,故xy的最大值为1.答案16.(2017山东高考)若直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.解析∵直线=1过点(1,2),∴=1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)=4+≥4+2=8.当且仅当b=2a时“=”成立.答案87.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.解析一年的总运费与总存储费用之和为4x+×6=4≥4×2=240,当且仅当x=,即x=30时等号成立.答案308.已知x>1,y>1,且xy=1000,求lgx·lgy的最大值.解由于x>1,y>1,所以lgx>0,lgy>0,所以lgx·lgy≤=,当且仅当lgx=lgy,即x=y时,等号成立,故lgx·lgy的最大值等于.9.已知x>0,y>0,x+y=1,求证≥9.证明左侧====5+2≥5+4=9,当且仅当,即x=y=时,等号成立,所以≥9.10.某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的长方体房屋,由于地理地位的限制,房屋侧面的长度x不得超过5米.房屋正面的造价为400元/平方米,房屋侧面的造价为150元/平方米,屋顶和地面的造价费用合计为5800元.假如墙高为3米,且不计房屋背面的费用,当侧面的长度为多少时,总造价最低?解设侧面的长度为x米(0<x≤5).由题意可得,总造价y=3+5800=900+5800(0<x≤5).由基本不等式可知y=900+5800≥900×2+5800=13000(元),当且仅当x=,即x=4时,等号成立.由上可知,当侧面的长度为4米时,总造价最低.B组1.若a≥0,b≥0,且a+b=2,则以下不等式正确的是()A.ab≤1B.ab≥1C.a2+b2≥4D.a2+b2≤4解析由已知可得ab≤=1(当且仅当a=b时,等号成立),而a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,故选项A正确.答案A2.爬山是一种简单风趣的户外运动,不利于身心健康,但要留意平安,预备好必需物品,控制好速度.现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v1,下山的速度为v2(v1≠v2),乙上山和下山的速度都是(甲、乙两人半途不停歇),则甲、乙两人上山下山所用的时间t1,t2的关系为()A.t1>t2B.t1<t2C.t1=t2D.不能确定解析设山路的长度为h,则依题意有t1==h·>h·=h·,t2==h·<h·=h·,故t1>t2.答案A3.(2017天津高考)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.解析∵