第八节曲线与方程1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是_______________．(2)以这个方程的解为坐标的点都是____________．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做____________．2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程_______________，并化简．(4)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．方程组1．在“方程的曲线与曲线的方程”的定义中，若只满足“曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”，那么这个方程是该曲线的方程吗？【提示】不一定是．因为只满足“曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”说明这条曲线可能只是方程所表示曲线的一部分，而非整个方程的曲线．2．动点的轨迹与轨迹方程含义相同吗？【提示】不同．前者为图形包括轨迹的形状、方程、图形等几何特征，后者仅是指代数方程．【答案】D【答案】A【解析】由已知：|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．【答案】D【答案】②③如图8－8－2，圆O：x2＋y2＝16，A(－2，0)，B(2，0)为两个定点．直线l是圆O的一条动切线，若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线，求抛物线焦点的轨迹方程．1．解答本题时，易忽视点(－4，0)和(4，0)不合要求，致使答案错误．2．求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．如图8－8－3，ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且DO⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|＝4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|＋|PB|的值不变．建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程．【思路点拨】(1)设出点A的坐标，利用对称性表示S矩形ABCD，并确定矩形ABCD面积取得最大值的条件，进而求出t值．(2)点M受点A的变化制约，根据点A满足的方程求出点M的轨迹方程．1．(1)本题的轨迹方程中，要求x＜－3，y＜0，求解时要结合几何性质和几何直观细心发掘．(2)求解中充分运用椭圆与圆的对称性，以及方程④的整体代入，避免繁琐运算，优化解题过程．2．相关点法求轨迹方程：形成轨迹的动点P(x，y)随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x′、y′表示成x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，求出动点P的轨迹方程．通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何的两大任务．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0.(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．曲线与方程是解析几何的一条主线，虽然高考对曲线与方程要求不太高，但近两年，常以建立曲线与方程作为切入点命制试题，且常考常新，既重视基本概念，基本技能，又重视思想方法，如数形结合，分类讨论等等，在解答此类题目时，应深入理解求曲线轨迹方程的基本方法，并检验曲线方程的纯粹性，养成完整答题的好习惯．易错提示：(1)找不到点M，A坐标间的关系，导致不能利用相关点法求曲线C的方程，弄错焦点位置和坐标．(2)忽视椭圆的对称性，致使不能准确利用点P的坐标表示出点H的坐标；不能利用向量运算证明垂直关系，导致繁杂运算致误．防范措施：(1)区别轨迹方程与曲线的轨迹，抓住点A，M，D共线且直线l⊥x轴的条件．(2)求点的坐标，不仅仅重视方程的求解，要注意曲线的性质，恰当设置，简化繁杂运算，重视向量数量积的作用，善于将垂直转化为数量积为0.【答案】D课后作业（五十八）