第二章控制系统的数学模型第一讲时域数学模型-微分方程杨金显yangjinxian@hpu.edu.cn河南理工大学电气工程与自动化学院主要内容控制系统的微分方程传递函数控制系统的方框图及其简化信号流程图及梅逊公式引言离心力弹簧力输入(控制信号或目标值)与输出(被控量或实际值)之间的关系？§2.1.1自动控制系统的数学模型概念‹定义：控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。‹建立合理的数学模型：1)反映元件及系统的特性要正确2)写出的数学式子要简明‹用途：1)分析实际系统2)预测物理量§2.1.1自动控制系统的数学模型概念‹控制系统数学模型的建立方法1)实验法是根据实验数据来建立数学模型的，即人为地在系统上加上某种测试信号，用实验所得的输入和输出数据来辨识系统的结构，阶次和参数，这种方法也成为系统辨识。2)解析法是根据系统和元件所遵循的有关定律来建立数学模型的。用解析法建立数学模型时，对其内部所体现的运动机理和科学规律要十分清楚，要抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，力求所建立的数学模型要合理。§2.1.2自动控制系统的微分方程‹建立数学模型的基础知识dyyt(),微分方程微分方程（连续系统）（连续系统）dt机械运动：机械运动：牛顿定理、能量守恒定理牛顿定理、能量守恒定理电学：电学：欧姆定理、基尔霍夫定律欧姆定理、基尔霍夫定律热学：热学：传热定理、热平衡定律传热定理、热平衡定律差分方程（离散系统）y(),(kTykT+T)数学模型的准线性与非线性确性和简化参数时变性§2.1.2自动控制系统的微分方程电气系统三元件电阻电容电感电学：欧姆定理、基尔霍夫定律§2.1.2自动控制系统的微分方程牛顿第二定律质量：m,力：f,线加速度：a,速度：v,位移：x转动惯量：J,力矩：M,角加速度：α,角速度：ω,角度：θdxd2x=v=adtdt2ma=fdθd2θ=ω=αJα=Mdtdt2几个典型例子的数学模型方程的建立【例2-1】电阻和电容的串联网络，其中U为输入电压，Uc为输出，建立两者关系的微分方程。R+CUiUc-步骤：RC网络(1)确定输入(自变量)、输出变量(因变量)和中间量输入:U输出:Uc中间量:i(2)根据基本定律列出电路的电压平衡方程式R+Ri+uc=u……………（1）UiCUc1u=idt……………（2）-cC∫(3)消去中间变量i，得到最终的方程du（2）式求导得：Cc=i,代入（1）式得：dtduRCC+u=udtcdu若设T=RCRCTc+u=udtc上式为一阶线性微分方程，RC电路是一阶线性(定常)系统。例:如图为两个形式相同的RC电路串联组成的滤波电路，建立输入电压为u,求电容C2两端电压uc为输出的微分方程。解：(1)输入量为u，输出量为uc;(2)根据基尔霍夫定理列写方程u1du1=+RR节点方程:i1i2c1u隔离放大器2dt1duci1i=uC2ui2c21Ccdt2回路方程:u=i1R1+u1u1=i2R2+uc(3)消去中间变量求出描述系统输入—输出关系的微分方程。du2duRCRCcc+()RC++RCRC+=uu1122dt2112212dtc§2.1.2自动控制系统的微分方程用解析法建立微分方程的步骤是：用解析法建立微分方程的步骤是：第一步：分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定出待研究元件或系统的输入量和输出量。第二步：从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手），依据各元件所遵循的物理，化学等规律，列写各自方程式，但要注意负载效应。所谓负载效应(由于负载的变化而引起输出稳定量的变化的效应)，这时就要考虑后一级对前一级的影响§2.1.2自动控制系统的微分方程用解析法建立微分方程的步骤是：用解析法建立微分方程的步骤是：第三步：将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输出的方程。第四步：列写标准化方程，所谓标准方程包含三方面的内容：①将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有关的各项放在方程的左边；dnc(t)dn−1c(t)dc(t)a+a+...+a+ac(t)②各导数项按降幂排列；ndtnn−1dtn−11dt0③将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有一dmr(t)dm−1r(t)dr(t)定物理意义的系数。=b+b+...+b+br(t)mdtmm−1dtm−11dt0【例2-2】电阻、电容和电感的串联