(每日一练)人教版高中数学必修一函数及其性质总结(重点)超详细单选题푥,푥>1,1、已知函数푓(푥)={eln푥若函数푦=[푓(푥)]2+(2−4푎)푓(푥)+1恰有5个零点，则实数푎的取值5−2푥−푥2,푥≤1,范围是（）94949A．[,)B．(1,)8242499C．(1,]D．[,+∞)88答案：A解析：푥先研究푥>1时，푓(푥)=的单调性和极值，画出分段函数的图象，换元后数形结合转化为二次函数根的分布eln푥情况，列出不等式组，求出实数푎的取值范围.푥′ln푥−1当푥>1时，푓(푥)=，则푓(푥)=，eln푥eln2푥当1<푥<e时，푓′(푥)<0，푓(푥)单调递减，当푥>e时，푓′(푥)>0，푓(푥)单调递增，则푥>1时，푓(푥)≥푓(e)=1.当푥≤1时，푓(푥)=5−2푥−푥2=−(푥+1)2+6≤6.作出푓(푥)大致图象，函数푦=[푓(푥)]2−(4푎−2)푓(푥)+1恰有5个不同零点，即方程[푓(푥)]2+(2−4푎)푓(푥)+1=0恰有5个根.令푓(푥)=푡，则需方程푡2+(2−4푎)푡+1=0(∗).1（l）在区间(−∞,1)和[2,6)上各有一个实数根，令函数푢(푡)=푡2+(2−4푎)푡+1，푢(1)=1+2−4푎+1<0,949则{푢(2)=4+2(2−4푎)+1≤0,解得≤푎<.824푢(6)=36+6(2−4푎)+1>0,푢(1)=1+2−4푎+1>0,（2）方程（*）在(1,2)和(6,+∞)各有一根时，则{푢(2)=4+2(2−4푎)+1<0,푢(6)=36+6(2−4푎)+1<0,푎<1,9푎>,即{8无解.49푎>,24291（3）方程（*）的一个根为6时，可得푎=，验证得另一根为，不满足.246（4）方程（*）的一个根为1时，可得푎=1，可知不满足.949综上，≤푎<.824故选：A小提示：复合函数与分段函数结合问题，要利用数形结合思想和转化思想，这道题目中要先研究出分段函数的图象，再令푓(푥)=푡，换元后转化为二次函数根的分布问题，接下来就迎刃而解了.32、函数푓(푥)=lg푥−+1的零点所在区间为（）푥2A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案：C解析：根据解析式判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可.由题设，푓(푥)的定义域为(0,+∞)且单调递增，12又푓(2)=lg2−=lg<0，푓(3)=lg3>0，2√10∴零点所在区间为(2,3).故选：C.3、已知函数푓(푥)=푥(|푥|+1)，若푓(푎−2)+푓(푎2−2푎)<0，则푎的取值范围为（）A．(−2,1)B．(−1,2)C．(−∞,−2)∪(1,+∞)D．(−∞,−1)∪(2,+∞)答案：B解析：首先根据题意得到푓(푥)为奇函数，且在푅上单调递增，根据푓(푎−2)+푓(푎2−2푎)<0得到푎2−2푎<2−푎，再解不等式即可.因为函数푓(푥)的定义域为푅，푓(−푥)=−푓(푥)，所以푓(푥)为奇函数，又因为当푥≥0时，푓(푥)=푥2+푥单调递增，所以푓(푥)在푅上单调递增.因为푓(푎−2)+푓(푎2−2푎)<0，所以푓(푎2−2푎)<−푓(푎−2)，则푓(푎2−2푎)<푓(2−푎)，即푎2−2푎<2−푎，解得−1<푎<2.所以푎的取值范围为(−1,2).故选：B填空题314、关于函数f（x）=sin푥+有如下四个命题：sin푥①f（x）的图象关于y轴对称．②f（x）的图象关于原点对称．휋③f（x）的图象关于直线x=对称．2④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．答案：②③解析：利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取−휋<푥<0可判断命题④的正误.综合可得出结论.휋15휋15휋휋对于命题①，푓()=+2=，푓(−)=−−2=−，则푓(−)≠푓()，62262266所以，函数푓(푥)的图象不关于푦轴对称，命题①错误；对于命题②，函数푓(푥)的定义域为{푥|푥≠푘휋,푘∈푍}，定义域关于原点对称，111푓(−푥)=sin(−푥)+=−sin푥−=−(sin푥+)=−푓(푥)，sin(−푥)sin푥sin푥所以，函数푓(푥)的图象关于原点对称，命题②正确；휋휋11对于命题③，∵푓(−푥)=sin(−푥)+휋=cos푥