..精选精选.精选三角形全等之倍长中线如图，AD为△ABC的中线．（1）求证：AB+AC>2AD．（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．求证：∠AEF=∠EAF．如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF．求证：AD为△ABC的角平分线．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的长．如图，在正方形ABCD的边CB的延长线上取一点E，△FEB为等腰直角三角形，∠FEB=90°，连接FD，取FD的中点G，连接EG，CG．求证：EG=CG且EG⊥CG．【参考答案】（1）证明：如图，延长AD至E，使DE=AD，连接BE，∴AE=2AD．∵AD是△ABC的中线∴BD=CD在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（SAS）∴BE=AC在△ABE中，AB+BE>AE∴AB+AC>2AD（2）解：由①可知AE=2AD，BE=AC在△ABE中，ABBE<AE<AB+BE∵AC=3，AB=5∴53<AE<5+3∴2<2AD<8∴1<AD<4证明：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE．在△ADC和△EDB中∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC=EB，∠2=∠E∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC证明：如图，延长CD到F，使DF=CD，连接BF．∴CF=2CD∵CD是△ABC的中线∴BD=AD在△BDF和△ADC中∴△BDF≌△ADC（SAS）∴BF=AC，∠3=∠A∵CB是△AEC的中线∴BE=AB∵AC=AB∴BE=AC∴BE=BF∵∠CBE是△ABC的一个外角∴∠CBE=∠BCA+∠A=∠BCA+∠3∵AC=AB∴∠BCA=∠CBA∴∠CBE=∠CBA+∠3=∠CBF在△CBE和△CBF中∴△CBE≌△CBF（SAS）∴CE=CF，∠4=∠5∴CE=2CDCB平分∠DCE证明：如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BM．∵D是BC边的中点∴BD=CD在△ADC和△MDB中∴△ADC≌△MDB（SAS）∴∠CAD=∠M，AC=MB∵BE=AC∴BE=MB∴∠M=∠BEM∴∠CAD=∠BEM∵∠AEF=∠BEM∴∠CAD=∠AEF即∠AEF=∠EAF证明：如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM．∵点E是BC的中点∴BE=CE在△CFE和△BME中∴△CFE≌△BME（SAS）∴CF=BM，∠F=∠M∵BG=CF∴BG=BM∴∠3=∠M∴∠3=∠F∵AD∥EF∴∠2=∠F，∠1=∠3∴∠1=∠2即AD为△ABC的角平分线．解：如图，延长AF交BC的延长线于点G．∵AD∥BC∴∠3=∠G∵点F是CD的中点∴DF=CF在△ADF和△GCF中∴△ADF≌△GCF（AAS）∴AD=CG∵AD=2.7∴CG=2.7∵AE=BE∴∠5=∠B∵AB⊥AF∴∠4+∠5=90°∠B+∠G=90°∴∠4=∠G∴EG=AE=5∴CE=EGCG=52.7=2.3证明：如图，延长EG，交CD的延长线于M．由题意，∠FEB=90°，∠DCB=90°∴∠DCB+∠FEB=180°∴EF∥CD∴∠FEG=∠M∵点G为FD中点∴FG=DG在△FGE和△DGM中∴△FGE≌△DGM（AAS）∴EF=MD，EG=MG∵△FEB是等腰直角三角形∴EF=EB∴BE=MD在正方形ABCD中，BC=CD∴BE+BC=MD+CD即EC=MC∴△ECM是等腰直角三角形∵EG=MG∴EG⊥CG，∠ECG=∠MCG=45°∴EG=CG全等三角形之倍长中线每日一题（4月21日）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点．求证：AE⊥BE．（4月22日）已知：如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，垂足分别为A，D