则在中与A等价的矩阵为（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）习题3.5设则在中与A等价的矩阵为，并说明理由．分析等价的充要条件是两个行列数相同的矩阵的秩相同.由于是一个的秩为2的矩阵,所以只要在中找出同样是的秩为2的那个矩阵即是与等价的矩阵.解是的,但是它的秩为1所以不是;是的同时秩也是2所以与等价;虽然秩是2但是是的矩阵,所以与不等价.综上知应填.2下述命题正确的是()，并说明理由.(A)若A与B等价，则A=B.(B)若方阵A与方阵B等价，则.(C)若A与可逆矩阵B等价，则A也是可逆矩阵.(D)若A，B，C，D均为n阶方阵.若A与B等价，C与D等价，则A+C与B+D等价.解(A)设,由于秩()=秩(),所以他们必等价,但是显然.据此(A)不正确.(B),由于秩()=秩(),所以他们必等价,但是显然.据此(B)不正确.(C)是可逆矩阵,因此是满秩的方阵.根据题意A与B等价,即有秩()=秩(),所以也是满秩的方阵,因此A也是可逆矩阵.据此(C)正确.(D)设,,秩()=秩(),秩()=秩(),所以A与B等价，C与D等价.但是显然不等价.据此(D)不正确.综上知应填.解由于两个矩阵等价,所以两者的秩必相等.,可知该矩阵的秩为2,因此的秩也必须为2.对它作初等行变换.,所以要使得它的秩为2,则.故应填4.4.证明：秩为r的矩阵可表示为r个秩为1的矩阵之和．证设为秩为r的矩阵,则它必与矩阵等价,所以必存在两个可逆矩阵使得成立.而可以写成r个只有一个元素为1其余为零的矩阵的和的形式:所以有==这样就表示成了r个矩阵之和的形式.而任一个,由于中间那个矩阵只有一个元素非零,所以其秩为1,而可逆,所以三个矩阵的积的秩仍然为1.这样就表示成了r个秩为1的矩阵之和了.5.上题的逆命题“r个秩为1的矩阵之和的秩为r”是否成立?成立请证明，否则举反例．证设显然的秩都是1,但是他们的和的秩是1而不是r.所以该逆命题不成立.6.若将所有n阶方阵按等价分类，可分成几个等价类?每一类的标准形是什么?解可以分成类,秩为0的一类,标准形为;秩为1的一类,标准形为;秩为2的一类,标准形为,,秩为的一类,标准形为.7.设A是n(n>1)阶方阵，A≠O，则存在一个非零矩阵，使得的充要条件为．证对于必要性的证明同习题3.2的第13个习题,下面证明该命题的充分性.若则可知是一个不满秩的n(n>1)阶方阵,据此可知线性方程组有非零解.设为一个非零解,则令.显然是一个非零的矩阵,并且满足.所以存在这样的非零矩阵，使得.8.设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵，若m>n，则必有.证由于秩秩(),而是一个的矩阵且>,所以秩().据此可得秩.由于A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,所以是一个的方阵,由于秩<,因此是不满秩的,因此.9.设,是秩为1的３×５矩阵，问矩阵的秩为多少?解由=,可知,所以是可逆矩阵,因此秩()=秩()=1.10.设A为５×３矩阵(1)秩()必．．(2)齐次线性方程组()为().(A)无解；(B)有惟一解；(C)有无穷多解；(D)解不确定，可能有解，可能无解.解(1)A为５×３矩阵,则即为一个的矩阵,利用本节第8个习题可知0,所以秩()必小于等于3.(2)由(1)知秩()3<未知数个数,所以必有无穷多解,所以选填C.矩阵在实际生活中的应用华中科技大学文华学院城市建设工程学部环境工程1班刘丛目录摘要………………………………………………………………3实际应用举例……………………………………………………4论文总结…………………………………………………………15参考文献…………………………………………………………162摘要：随着现代科学的发展，数学在经济中广泛而深入的应用是当前经济学最为深刻的因素之一，马克思曾说过：“一门学科只有成功地应用了数学时，才真正达到了完善的地步”。下面通过具体的例子来说明矩阵在经济生活中、人口流动、电阻电路、密码学、文献管理的应用。关键词：矩阵、人口流动、电阻电路、密码学、文献管理一：矩阵在经济生活中的应用1．“活用”行列式定义定义：用符号表示的n阶行列式D指的是n!项代数和，这些项是一切可能的取自D不同行与不同列上的n个元素的乘积的符号为。由定义可以看出。n阶行列式是由n!项组成的，且每一项为来自于D中不同行不同列的n个元素乘积。实例1：某市打算在第“十一”五年规划对三座污水处理厂进行技术改造，以达到国家标准要求。该市让中标的三个公司对每座污水处理厂技术改造费用进行报价承包，见下列表格