设矩阵与矩阵相似求x（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）习题6.3设矩阵与矩阵相似．求x,y解因为矩阵与矩阵相似,所以tr=tr,,从而有解得2.设,则下述结论正确的是()，且说明理由．(A)A与B等价，且A与B相似．(B)A与B等价，但A与B不相似．(C)A与B不等价，且A与B不相似．(D)A与B不等价，但A与B相似．解因为秩(A)=1=秩(B),所以A与B等价.又因为trA=4,trB=1,即有,所以A与B不相似.综上可知(B)是正确的,故应选填B.3.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2，求(1)矩阵的特征值；(2)｜｜．解(1)取,则,所以的特征值为.(2)｜｜=.4.设3阶方阵A的行列式｜A｜=-2，A*有一个特征值为6，则必有一个特征值为；A必有一个特征值为；必有一个特征值为；必有一个特征值为；必有一个特征值为.以上各项均要求写出计算过程.解(1)由可得,A*有一个特征值为6,所以必有一个特征值为.(2),所以必有一个特征值为.(3),所以必有一个特征值为.(4)取,则,因有一个特征值为,所以必有一个特征值为.(5)=,所以必有一个特征值为.5.设.(1)计算；(2)求.解(1),所以特征值为2,2,-7.求解方程组,得到属于2的线性无关的特征向量为.求解方程组,得到属于-7的线性无关的特征向量为.线性无关,故能对角化.取则为可逆矩阵,且.求得,从而.(2)取,则的特征值为,所以==.6.设n阶方阵A的n个特征值为1，2，…，n，求｜A+E｜．解方阵A的n个特征值为1，2，…，n,所以A+E的特征值为2,3,……,n,n+1.所以｜A+E｜=.7.已知3阶方阵A的特征值为0，1，2，所对应的特征向量分别为,,求(1)，其中k为任意正整数；(2)；(3)．分析本题与第5题类似,故解法相同,下面仅列出简要解答.解(1)由方阵A的特征值为0，1，2，所对应的特征向量分别为,,,可知,所以=(2)取,方阵A的特征值为0，1，2,所以的特征值为.因此.(3).8*.设矩阵,,A*有一个特征值，属于的特征向量为，求a,b,c和的值．解由题设知,,两边左乘,利用可得:即有.由此可得,利用(1)和(3)可知,从而得到,由此可得再根据,可得,即有.综上可得.9.设A为n阶方阵，证明：零是A的一个特征值．证所以,因此零是A的一个特征值.零是A的一个特征值,所以即有.10.设n(n＞1)阶上三角矩阵．若，则A不能与对角矩阵相似．证,所以是A的n重根.如果A能与对角矩阵相似,则必有的基础解系含有个向量,即-秩()=n,也就是秩()=0,从而得到此时,即,这与条件矛盾!所以A不能与对角矩阵相似．11*.设n阶方阵A满足，证明:A的特征值仅为-2.证设为A的任意一个特征值,是A的属于的特征向量,则有,所以,由可得,即得,所以A的特征值仅为-2.第三节相似矩阵内容分布图示★相似矩阵与相似变换的概念★例1★相似矩阵的性质★例2★相似矩阵的特征值与特征向量★矩阵与对角矩阵相似的条件★例3★例4★矩阵可对角化的条件★矩阵对角化的步骤★例5★例6★矩阵对角化的应用★约当形矩阵的概念★例7★例8★例9★内容小结★课堂练习★习题4-3★返回内容要点：一、相似矩阵的概念定义1设都是阶矩阵,若存在可逆矩阵,使,则称是的相似矩阵,并称矩阵与相似.记为.对进行运算称为对进行相似变换,称可逆矩阵为相似变换矩阵.矩阵的相似关系是一种等价关系，满足:(1)反身性:对任意阶矩阵,有相似;(2)对称性:若相似,则与相似;(3)传递性:若与相似,则与相似,则与相似.两个常用运算表达式：(1);(2),其中为任意实数.二、相似矩阵的性质定理1若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.相似矩阵的其它性质:(1)相似矩阵的秩相等;(2)相似矩阵的行列式相等;(3)相似矩阵具有相同的可逆性,当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似.三、矩阵与对角矩阵相似的条件定理2n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.注:定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法.推论1若n阶矩阵A有n个相异的特征值,则A与对角矩阵相似.对于n阶方阵A,若存在可逆矩阵P,使为对角阵,则称方阵A可对角化.定理3n阶矩阵A可对角化的充要条件是对应于A的每个特征值的线性无关的特征向