第三节二项式定理三年10考高考指数:★★★1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1.二项展开式的通项公式的应用，利用通项公式求特定的项或特定项的系数，或已知某项，求指数n等是考查重点；2.赋值法、化归思想是解决二项展开式问题的基本思想和方法，也是高考考查的热点；3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题为主.1.二项式定理【即时应用】(1)(a+b)n展开式中，二项式系数(k=0,1,2,…,n)与展开式中项的系数_________(填：“一定”，“不一定”)相同.(2)(3)的展开式中，x3的系数等于________.【解析】(1)二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念,二项式系数是指它只与各项的项数有关，而与a,b无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a,b所代表的项有密切关系.(2)原式=(1-2)11=-1.(3)的通项为＝令6－＝3，得r＝2，－3＝0，故x3的系数为＝15.答案：(1)不一定(2)-1(3)152.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即__________.(2)增减性：①二项式系数当k＜______时，二项式系数是递增的；②当k＞______时，二项式系数是递减的.(3)最大值:①当n是偶数时，中间的一项____取得最大值；②当n是奇数时，中间两项____和_____相等，且同时取得最大值.【即时应用】(1)二项式的展开式中，系数最大的项为第_____项.(2)若展开式中第6项的系数最大，则不含x的项等于____________.【解析】(1)因为4n+1为奇数，所以展开式有4n+2项，则系数分别为所以系数最大的项为第2n+1项.(2)由已知，得第6项应为中间项，则n=10.令30-5r=0，得r=6.∴答案：(1)2n+1(2)2103.各个二项式系数的和(1)(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于_____，即;(2)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即【即时应用】(1)若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为______.(2)已知(3-x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0-a1+a2-a3+a4等于___________.(3)已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于_________．【解析】(1)依题意，得即n(n－1)＝30(其中n≥2)，由此解得n＝6，因此展开式中所有项的系数之和为(2)由题意，可知令x＝－1，代入式子，可得a0-a1+a2-a3+a4＝［3－(－1)］4＝256.(3)分别令x＝1、x＝－1,得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0,a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝32，由此解得a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.答案:(1)(2)256(3)-256求二项展开式中特定的项或特定项的系数【方法点睛】1.理解二项式定理应注意的问题(1)Tr+1通项公式表示的是第“r+1”项，而不是第“r”项；(2)通项公式中a和b的位置不能颠倒；(3)展开式中第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心,以防出错.2.求特定项的步骤(1)根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n为正整数，r为非负整数，且r≤n)；(2)根据所求项的指数特征求所要求解的项.【例1】(1)(2012·宁波模拟)在的展开式中，系数为有理数的项共有______项.(2)(2012·烟台模拟)展开式中的常数项为______.(3)在的展开式中，系数绝对值最大的项是第几项？【解题指南】(1)先明确系数为有理数的项的特征，然后由二项展开式的通项找出符合条件的项的个数.(2)可将括号内的三项分成两组看成两项，再利用二项式定理求解.也可直接展开所给式子，相应求解.(3)设第r+1项系数的绝对值最大，据此可构造含有r的不等式组，求出r的范围后，再求项数.【规范解答】(1)∵要求系数为有理数的项，则r必须能被4整除.由0≤r≤20且r∈N知，当且仅当r=0,4,8,12,16,20时所对应的项系数为有理数.答案:6(2)方法一：∵∴它的展开式的通项为：(0≤r≤5).当r=