考点集训8一元二次方程一、选择题1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是(C)A．x2＋eq\f(1,x2)＝0B．ax2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1D．3x2－2xy－5y2＝02．已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个根，则x1·x2等于(D)A．－4B．－1C．1D．4【解析】考查一元二次方程根与系数的关系．ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1·x2＝eq\f(c,a).3．一元二次方程x2－6x－5＝0配方可变形为(A)A．(x－3)2＝14B．(x－3)2＝4C．(x＋3)2＝14D．(x＋3)2＝44．一元二次方程x2＋2x＋1＝0的根的情况(B)A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根5．某市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是(C)A．20(1＋2x)＝28.8B．28.8(1＋x)2＝20C．20(1＋x)2＝28.8D．20＋20(1＋x)＋20(1＋x)2＝28.8【解析】设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20(1＋x)2＝28.8，故选C.6．根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的个数是(A)x6.176.186.196.20y＝ax2＋bx＋c0.020.010.020.04A.0B．1C．2D．1或2【解析】由表格知随x值的增大，函数值y由大变小再变大，开口朝上，函数对称轴为x＝6.18，对应最小值y＝0.01，由此知方程无根．二、填空题7．方程x2－3＝0的根是__x1＝eq\r(3)，x2＝－eq\r(3)__．8．已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根为__－1__．9．关于x的一元二次方程x2＋bx＋2＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b的值：b＝__3__．【解析】Δ＝b2－4×1×2＝b2－8，故满足条件的实数b的值只需b2＞8即可，如3(答案不唯一)10．已知关于x的一元二次方程x2＋2x－(m－2)＝0有实数根，则m的取值范围是__m≥1__【解析】∵关于x的一元二次方程x2＋2x－(m－2)＝0有实数根，∴Δ＝b2－4ac＝22－4×1×[－(m－2)]≥0，解得m≥1.11．如图，某小区规划在一个长30m，宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少？设通道的宽为xm，由题意列得方程__(30－2x)(20－x)＝6×78__．【解析】去掉道路宽度后，BC边变为30－2x，AB边变为20－x.面积S＝(20－x)(30－2x)＝6×78.12．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成|eq\a\vs4\al(ab,cd)|，定义|eq\a\vs4\al(ab,cd)|＝ad－bc，上述记号就叫做2阶行列式．若|eq\a\vs4\al(x＋11－x,1－xx＋1)|＝8，则x＝__2__．【解析】(x＋1)2－(1－x)2＝8.得x＝2.三、解答题13．解方程：2(x－3)2＝x2－9解：x1＝3，x2＝914.定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝m2n＋n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：－3☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2－bx＋a＝0的根的情况．解：∵2☆a的值小于0，∴22a＋a＝5a＜0，解得：a＜0.在方程2x2－bx＋a＝0中，Δ＝(－b)2－8a≥－8a＞0，∴方程2x2－bx＋a＝0有两个不相等的实数根15．一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2.设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的eq\f(2,5)，求横、竖彩条的宽度．解：(1)根据题意可知，横彩条的宽度为eq\f(3,2)xcm，∴y＝20×eq\f(3,2)x＋2×12·x－2×eq\f(3,2)x·x＝－3x2＋54x，即y与x之间的函数关系式为y＝－3x2＋54x；(2)根据题意，得：－3x2＋54x＝eq\f(2,5)×20×12，整