第一节控制系统的奈氏图分析一.奈氏判据的基本原理奈氏判据——频域分析中最重要的稳定性判据。先讨论三个重要概念：1.特征函数的零点和极点2.幅角原理(映射定理）3.奈氏轨迹及其映射设如下方框图所示的系统1.特征函数的零点和极点闭环系统——特征函数2.幅角原理（映射定理）1）：映射（复变函数中映射有几种，但常用的是有理分式函数映射）a）点的映射以惯性环节为例，求S平面上的点s0=1+j在G平面上的映射。解：b）线的映射2）映射定理奈氏判据的理论基础是复变函数的映射定理。定理：设F（S）：复变量S的单值解析函数，S平面F（S）平面，它在S平面某一闭曲线C的内部共有P个极点和Z个零点，且闭曲线C不通过F（S）的任一极点和零点。当S顺时针方向沿闭曲线变化一周时，函数F（S）所取值一随之连续变化而在F平面上描出一个闭曲线C‘，曲线C‘称为C的映射。在上述情形下闭曲线C‘包围原点的周数N为若N为正，则表示闭曲线C‘逆时针包围原点的周数。若N为负，则表示闭曲线C‘顺时针包围原点的周数。若N为零，则表示闭曲线C‘不包围原点转圈。在式中Z——s平面上被封闭曲线C包围的Fs的零点数P——s平面上被封闭曲线C包围的Fs的极点数N——F平面中封闭曲线C’包围原点的次数3.奈氏轨迹（路径）及其映射定义：（D形围线或奈氏轨迹）构造一条包围整个右半S平面的封闭曲线，即虚轴加上其右侧的半径为无穷大的半圆。这样的曲线包围了所有F（S）在S平面上的的零点。奈氏轨迹在F平面的映射成为一条封闭曲线，称为奈氏曲线二.奈氏稳定性判据一（0型系统）1：若系统在开环状态下在S的右半平面有P个极点则闭环系统稳定的充要条件是当w从-变到+时，系统开环传递函数的Nyquist图（奈氏曲线）围绕,j0点转的圈数为N，（顺时针转取负值，逆时针转取正值）当Z=P-N为零时，系统稳定；否则闭环系统不稳定。约束条件：在原点和虚轴上无零极点。奈氏轨迹不能穿过零极点。讨论：当奈氏曲线通过,j0点，则表示闭环系统临界稳定，也归为不稳定。例：解：作奈氏轨迹如下图示:N=1，P=1有Z=NP=0故系统稳定三.奈氏稳定性判据二（1型以上的系统）增补奈氏轨迹：（广义D形围线）所谓增补就是使奈氏轨迹绕开位于原点和虚轴上的开环零极点。虚轴上含有开环极点的Nyquist判据若增补奈氏曲线D，当:逆时针包围,j0点的次数N等于位于右半平面上开环极点数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。增补奈氏轨迹映射出的奈氏轨迹分析*：可见增补奈氏轨迹映射为半径的圆曲线变点相角变化从M90M90如M=1，-M：90090M=2时，-M：1800180一型系统的奈氏曲线二型系统的奈氏曲线例：设开环传函数试用奈氏判据判定系统稳定性解：作奈氏曲线考虑增补当:顺时针包围,j0点2次，N=2P=0Z=2不稳定