西南科技大学5高教研究62009年第4期(总第93期)关于柯西-施瓦茨不等式证明付英贵(西南科技大学理学院四川绵阳621010)摘要:柯西-施瓦茨不等式是高等数学中一个难点问题,本文将用三种不同证明方法,注明三种不同方法在处理中的难点和重点,同时讨论柯西-施瓦茨不等式的应用。关键词:定积分;二重积分;柯西-施瓦茨不等式一、柯西-施瓦茨不等式:设f(x),g(x)在区间[a,b]上均匀连续,证明:b2bb22f(x)g(x)dx[f(x)dx#g(x)dxaQaQaQx2xx22证法一:作函数,F(x)=(t)g(t)dt-f(x)dt#g(t)dt,因aQaQaQxxxFc(x)=2f(t)g(t)dt#f(x)g(x)-f2(x)g2(t)dt-g2(x)f2(t)dtaQaQaQxxx=2f(x)g(x)f(t)g(t)dt-f2(x)g2(t)dt-f2(t)g2(x)dxQaaQQax=-[f(x)g(t)-f(t)g(x)]2dt[0aQ故F(x)在[a,b]上单调下降,即F(b)[F(a),(a<b)而F(a)=0,故F(b)[0,即不等式成立。注:本证明关键是建立辅助函数将问题转化成单调性来证明不等式。本方法中将b变成x而建立辅助函数对数学中辅助函数建立和学习有一定帮助。例:b>a>e证明:ab>ba分析:ab>baZblna>alnbZblna-alnb>0作f(x)=xlna-alnx(x\a)2证法二:对任意实数K有:[Kf(x)+g(x)]\0两边积分bbbb[Kf(x)+g(x)]2dx=K2f2(x)dx+2Kf(x)g(x)dx+g2(x)dx\0aQaQaQaQ故K的二次三项式的判别法bbb2222v=b-4ac=4f(x)g(x)dx-4f(x)dx#g(x)dx[0aQaQaQbbb222即f(x)g(x)dx[f(x)dx#g(x)dxaQaQaQ注:本证明方法关键是将问题转化成二次三项式有无根的问题,同时利用定积分性质来证明。本方法中建立二次三项式方法值得关注。60bb证法三:dx[f(x)g(y)-f(y)g(x)]2dyaQaQbb=dx[f2(x)g2(y)-2f(x)g(x)f(y)g(y)+f2(y)g2(x)]dyaQaQbbbbbb=[f2(x)g2(y)dy]dx-2f(x)g(x)dxf(y)g(y)dy+[f2(y)g2(x)dy]dxaQaQaQaQaQaQbbb2bb2222=f(x)dx#g(y)dy-2f(x)g(x)dx+f(y)dy#g(x)dxaQaQaQaQaQbbb222=2f(x)dx#g(x)dx-f(x)g(x)dxaQaQaQbb并且仅当x=y时,dx[f(x)g(y)-f(y)g(x)]2dy=0,故aQaQbbb2222f(x)dx#gg(x)dx=f(x)g(x)dxaQaQaQbb若xXy时,dx[f(x)g(y)-f(y)g(x)]2dy>0,故aQaQbbb222f(x)dx#g(x)dx>f(x)g(x)dxaQaQaQb2bb22综上所述,则有f(x)g(x)dx[f(x)dx#g(x)dxaQaQaQ注:本证明方法将本问题转化成二重积分问题,同时注意和轮换对称性和讨论。本方法中重积分轮换对称性,对称性在积分中应用是高等数学学习中一个重点、难点,在教学中请学生注意。分析:QQf(x,y)dxdy=QQf(y,x)dxdyD关于y=x对称DD2222例3x-yx+y:QQ22dxdy=QQ22dxdy=2Px2+y2[1x+yx2+y2[1x+y二、例:设f(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)>0,证明:bb12f(x)dx#dx\(b-a)aQaQf(x)bbbb2121证:f(x)dx#dx=f(x)dx#dxaQaQf(x)aQaQf(x)b212\f(x)dx=(b-a)aQf(x)参考文献[1]同济大学数学教研室.高等数学(上、下册)第四版[M].北京:高等教育出版社,2006.61