第七章参数估计参数估计例如：估计大学生的平均身高参数估计问题的一般提法参数估计例1已知某地区大学生的身高X~为估计问题是:使用什么样的统计量去估计？寻求估计量的方法：记总体k阶矩为用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就称为矩估计法。最常用的是：的矩估计.例3设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布。2.最大似然法最大似然法的基本思想：先看一个简单例子：一般地，假设X为离散型总体：已发生的事件为：我们的任务是：假设X为连续型总体：其概率为：我们的任务是：称为似然函数例4设总体X~B(1,p)的一个样本，求参数p的极大似然估计.例5设总体在总体分布中，把概率函数(或密度)中自变量看成已知常数,而把参数θ看作自变量导出似然函数L(θ);两点说明2、用上述求导方法求参数的MLE有时行不通，这时要用最大似然原则来求。解：返回例7i=1,2,…,n(1)故使达到最大的即的MLE，极大似然估计的一个性质:例8一罐中装有白球和黑球，有放回地抽取一个容量为n的样本，其中有k个白球，求罐中黑球与白球之比R的极大似然估计.§7.2估计量的评价标准常用标准：1．无偏性用样本均值作为总体均值的估计时，虽无法说明一次估计所产生的偏差，但这种偏差随机地在0的周围波动，对同一统计问题大量重复使用不会产生系统偏差。解：由例6无偏如何修正？一个参数往往有不止一个无偏估计,若和都是参数的无偏估计量，我们可以比较其方差的大小来决定二者谁更优。2．有效性例10设总体服从指数分布，其概率密度为：其中参数未知，又设是来自X的样本，试证和nZ都是的无偏估计量，并比其较有效性。证：无偏当n>1时，较更有效。（1），即为的无偏估计；3．相合性（一致性）定理设是θ的一个估计量，若则是θ的相合估计定理设分别是的相合估计，若是的连续函数，则是η的相合估计。§7.3区间估计在这里，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值。置信水平的大小是根据实际需要选定的。称区间为的置信水平为的置信区间。一、置信区间定义：两个要求:二、置信区间的求法找a,b使：例如，由我们得到均值的置信水平为的置信区间为：由P{-1.75≤Z≤2.33}=0.95我们得到均值的置信水平为的置信区间为：任意两个数a和b，只要它们的纵标包含f(u)下95%的面积，就确定一个95%的置信区间。对给定的置信水平x置信水平越高，相应的置信区间长度就长，估计的精度就差。这是一对矛盾。置信区间的统计意义求置信区间方法（枢轴量法）的一般步骤如下:3.对于给定的置信水平，根据S(T,)的分布，确定常数a,b，使得这里，我们主要讨论总体分布为正态的情形。若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得子样近似于正态分布，于是也可以近似求得参数的区间估计。（一）单个总体N(μ,σ2)的情况解得μ的1-α置信区间为：因方差未知，取枢轴量为：即方差σ2的区间估计σ2的1-α置信区间为：（一）两个总体的情况的置信区间为：由对称性：例11为提高某一化学生产过程的得率，试图采用一种新的催化剂。为慎重起见，在试验工厂先进行试验。设采用原来的催化剂进行了n1=8次试验，得到得率的平均值=91.73。样本方差s12=3.89;又采用新的催化剂进行了n2=8次试验，得到得率的平均值=93.75，样本方差s22=4.02。假设两总体都可认为服从正态分布，且方差相等，两样本独立。试求两总体均值差1-2的置信水平为0.95的置信区间。解：两个总体方差比的置信区间解得置信区间为：例12研究由机器A和机器B生产的钢管的内径，随机抽取机器A生产的管子18只，测得样本方差s12=0.34(mm2)；抽取机器B生产的管子13只，测得样本方差s22=0.29(mm2)。设两样本方差相互独立，且设由机器A，机器B生产的管子的内径分别服从正态分布N(1,12),N(2,22)，这里i,i（i=1,2）均未知。试求方差比12/22置信水平为0.90的置信区间。F/2(n1,n2)=F0.05(17,12)=2.59,上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限。满足：又若统计量满足设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命均值的置信水平为0.95的单侧置信下限。对给定的置信水平，确定分位数将样本值代入得的置信水平为0.95的单侧置信下限是：课间休息